Q1Easy
The centered difference formula for the first derivative is f'(x) approx (f(x+h)-f(x-h))/(2h). The truncation error is:
முதல் வழித்தோன்றலுக்கான மைய வேறுபாடு சூத்திரம் f'(x) தோராயமாக (f(x+h) - f(x-h) )/(2h). துண்டிப்பு பிழை:
- aO(h^2)✓ Correct
- bO(h^4)
- cO(h)
- dO(h^3)
Explanation
Centered difference: Taylor expand f(x+h)=f(x)+h*f'(x)+h^2/2*f''(x)+h^3/6*f'''(x)+... and f(x-h)=f(x)-h*f'(x)+h^2/2*f''(x)-h^3/6*f'''(x)+... Subtracting: (f(x+h)-f(x-h))/(2h)=f'(x)+h^2/6*f'''(x)+...=f'(x)+O(h^2). More accurate than forward difference O(h).
மையப்படுத்தப்பட்ட வேறுபாடு: டெய்லர் விரிவாக்கம் f(x+h) = f(x) +h*f'(x)+ h^2 /2*f''(x)+ h^3 /6*f'''(x)+... மற்றும் f(x-h)0 = f(x-h)1 -h*f'(x)+ f(x-h)2 /2* f(x-h)2 /2 /6*f'''(x)+... கழித்தல்: ( f(x-h)4 - f(x-h)5 )/(2h)=f'(x)+ f(x-h)6 /6*f'''(x)+...=f'(x)+ f(x-h)7 . முன்னோக்கி வித்தியாசத்தை விட துல்லியமானது f(x-h)8 .
Q2Easy
The composite trapezoidal rule for ∫_a^b f(x) dx with n subintervals of width h=(b-a)/n:
h=(b-a)/n அகலத்தின் n துணை இடைவெளிகளுடன் ∫ _a^b f(x) dxக்கான கூட்டு ட்ரெப்சாய்டல் விதி:
- aT = h*(f(a)+f(b)) — T = h*( f(a) + f(x)0 )
- bT = h*(f(a)/2 + f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_{n-1}) + f(b)/2) — T = h*( f(a) /2 + f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_{n-1}) + f(b) /2)✓ Correct
- cT = h*sum_{i=0}^n f(x_i) — T = h*sum_{i=0}^n f(x)1
- dT = h*(f(a)+f(b))/2 — T = h*( f(a) + f(b) )/2
Explanation
Composite trapezoidal: T = h*(f_0/2 + f_1 + f_2 + ... + f_{n-1} + f_n/2) where f_i = f(a+i*h). This is exact for linear functions; error O(h^2) per interval, O(h^2) globally: T - ∫f = -(h^2/12)*(f'(b)-f'(a)) + O(h^4) (Euler-Maclaurin). The error correction is used in Richardson extrapolation.
கூட்டு ட்ரெப்சாய்டல்: T = h*(f_0/2 + f_1 + f_2 + ... + f_{n-1} + f_n/2) f_i = f(x)2 . நேரியல் செயல்பாடுகளுக்கு இது சரியானது; ஒரு இடைவெளிக்கு f(x)3 பிழை, உலகளாவிய அளவில் f(x)4: T - ∫f = -( f(x)5 /12)*(f'(b)-f'(a)) + f(x)6 (Euler-Maclaurin). ரிச்சர்ட்சன் எக்ஸ்ட்ராபோலேஷனில் பிழை திருத்தம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
Q3Easy
Simpson's rule for ∫_a^b f(x) dx (with n even subintervals, h=(b-a)/n):
∫ _a^b f(x) dx க்கான சிம்ப்சனின் விதி (n கூட துணை இடைவெளிகளுடன், h=(b-a)/n):
- aI ≈ (h/2) [f(x₀) + 2 f(x₁) + f(x₂)] (Trapezoidal rule over two intervals) — I ≈ (h/2) [f(x₀) + 2 f(x₁) + f(x₂)] (இரு இடைவெளிகளில் சரிவக விதி)
- bI ≈ h [f(x₁) + f(x₂)] as an unweighted midpoint approximation — எடையற்ற நடுப்புள்ளி தோராயமாக I ≈ h [f(x₁) + f(x₂)]
- cI ≈ (h/3) [f(x₀) + 4 f(x₁) + f(x₂)] with error O(h⁵) (Simpson's 1/3 rule) — I ≈ (h/3) [f(x₀) + 4 f(x₁) + f(x₂)] (சிம்ப்சனின் 1/3 விதி, பிழை O(h⁵))✓ Correct
- dI ≈ (3h/8) [f(x₀) + 3 f(x₁) + 3 f(x₂) + f(x₃)] (Simpson's 3/8 rule) — I ≈ (3h/8) [f(x₀) + 3 f(x₁) + 3 f(x₂) + f(x₃)] (சிம்ப்சனின் 3/8 விதி)
Explanation
Composite Simpson's: S = h/3*(f_0 + 4f_1 + 2f_2 + 4f_3 + ... + 4f_{n-1} + f_n). Pattern: 1,4,2,4,2,...,4,1 with weights. Error: O(h^4) (exact for cubics). Local error: -h^5/90*f^{(4)}(xi) per pair. Global error: -(b-a)h^4/180*f^{(4)}(xi). More accurate than trapezoidal for smooth functions.
கூட்டு சிம்ப்சன்: S = h/3*(f_0 + 4f_1 + 2f_2 + 4f_3 + ... + 4f_{n-1} + f_n). வடிவம்: 1,4,2,4,2,...,4,1 எடையுடன். பிழை: O(h^4) (கியூபிக்களுக்கு சரியானது). உள்ளூர் பிழை: - ஒரு ஜோடிக்கு h^5 /90* f^{(4)}(xi). உலகளாவிய பிழை: -(b-a) h^4 /180* f^{(4)}(xi) . மென்மையான செயல்பாடுகளுக்கு ட்ரெப்சாய்டலை விட துல்லியமானது.
Q4Easy
Gauss-Legendre quadrature on [-1,1] with n nodes integrates exactly all polynomials of degree <= :
n முனைகளுடன் [-1,1] இல் உள்ள காஸ்-லெஜெண்ட்ரே க்வாட்ரேச்சர், பட்டத்தின் அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் சரியாக ஒருங்கிணைக்கிறது <= :
- an
- b2n-1 (maximum possible for n points) — 2n-1 (n புள்ளிகளுக்கு அதிகபட்சம்)✓ Correct
- cn+1
- dn-1
Explanation
Gauss-Legendre: the n nodes are the zeros of P_n(x) (Legendre polynomial). The n weights w_i are computed for exact integration of degree n-1 polynomials at minimum; but due to the orthogonality of P_n, the scheme is exact for degree 2n-1 polynomials. Maximum accuracy: choosing nodes AND weights optimally gives exactness for degree 2n-1 (2n conditions from n nodes+weights, -1 constraint = 2n-1).
Gauss-Legendre: n முனைகள் P_n(x) (Legendre polynomial) இன் பூஜ்ஜியங்களாகும். n எடைகள் w_i குறைந்தபட்சம் டிகிரி n-1 பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சரியான ஒருங்கிணைப்பிற்காக கணக்கிடப்படுகிறது; ஆனால் P_n இன் ஆர்த்தோகனாலிட்டி காரணமாக, இந்த திட்டம் பட்டம் 2n-1 பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு துல்லியமானது. அதிகபட்ச துல்லியம்: முனைகள் மற்றும் எடைகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது, பட்டம் 2n-1க்கான துல்லியத்தை அளிக்கிறது (n முனைகள்+எடைகளில் இருந்து 2n நிபந்தனைகள், -1 கட்டுப்பாடு = 2n-1).
Q5Easy
Richardson extrapolation improves the trapezoidal rule T(h) (error O(h^2)) by combining T(h) and T(h/2):
ரிச்சர்ட்சன் எக்ஸ்ட்ராபோலேஷன் T(h) மற்றும் T(h/2) ஐ இணைப்பதன் மூலம் T(h) (பிழை O(h^2)) என்ற ட்ரெப்சாய்டல் விதியை மேம்படுத்துகிறது:
- aR(h) = T(h) + T(h/2)
- bR(h) = (4*T(h/2) - T(h))/3 (eliminates the h^2 error term, leaving O(h^4)) — R(h) = (4* T(h/2) - T(h) )/3 (O(h^2)0 பிழை காலத்தை நீக்குகிறது, O(h^2)1 ஐ விட்டு வெளியேறுகிறது)✓ Correct
- cR(h) = T(h/2) - T(h) — O(h^2)2 = O(h^2)3 - O(h^2)4
- dR(h) = (T(h)+T(h/2))/2 — O(h^2)5 = (O(h^2)6 + O(h^2)7 )/2
Explanation
Richardson for trapezoidal: T(h)=I+C*h^2+O(h^4), T(h/2)=I+C*h^2/4+O(h^4). Extrapolate: (4*T(h/2)-T(h))/3=I+O(h^4). This is exactly Simpson's rule! Romberg integration applies Richardson extrapolation repeatedly: T(h), T(h/2), T(h/4),... to get arbitrarily high order.
ட்ரேப்சாய்டலுக்கான ரிச்சர்ட்சன்: O(h^2)8 =I+C* O(h^2)9 , T(h)0 =I+C* T(h)1 /4+ T(h)2 . எக்ஸ்ட்ராபோலேட்: (4* T(h)3 - T(h)4 )/3=I+ T(h)5 . இதுதான் சிம்ப்சனின் விதி! ரோம்பெர்க் ஒருங்கிணைப்பு ரிச்சர்ட்சன் எக்ஸ்ட்ராபோலேஷனை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துகிறது: T(h)6 , T(h)7 , T(h)8 ,... தன்னிச்சையாக அதிக ஆர்டரைப் பெற.
20 more questions on Numerical Differentiation and Integration
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.