Q1Easy
Two continuous maps f,g: X -> Y are homotopic (f~g) if there is a continuous H: X x [0,1] -> Y with H(x,0)=f(x) and H(x,1)=g(x). Homotopy is:
H(x,0) = f(x) மற்றும் H(x,1) = g(x) உடன் தொடர்ச்சியான H: X x [0,1] -> Y இருந்தால் இரண்டு தொடர்ச்சியான வரைபடங்கள் f,g: X -> Y ஹோமோடோபிக் (f~g) ஆகும். ஹோமோடோபி என்பது:
- aAn equivalence relation only on homeomorphisms — ஹோமியோமார்பிஸங்களில் மட்டுமே சமமான உறவு
- bOnly defined for maps of spheres — கோளங்களின் வரைபடங்களுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது
- cNot transitive — இடைநிலை அல்ல
- dAn equivalence relation on the set of all continuous maps from X to Y — X இலிருந்து Y வரையிலான அனைத்து தொடர்ச்சியான வரைபடங்களின் தொகுப்பில் ஒரு சமமான உறவு✓ Correct
Explanation
Homotopy ~ is an equivalence relation: (1) reflexive: H(x,t)=f(x) gives f~f. (2) symmetric: H(x,1-t) gives g~f if f~g. (3) transitive: concatenate homotopies. The quotient [X,Y] = {homotopy classes of maps X->Y} is the set of homotopy classes. When X=S^n: [S^n,Y] = pi_n(Y) (homotopy groups).
ஹோமோடோபி ~ என்பது ஒரு சமமான உறவு: (1) பிரதிபலிப்பு: H(x,t) = f(x) f~f ஐ அளிக்கிறது. (2) சமச்சீர்: H(x,1-t), f~g எனில் g~f தருகிறது. (3) ட்ரான்சிட்டிவ்: ஒருங்கிணைந்த ஹோமோட்டோபீஸ். மேற்கோள் [X,Y] = {வரைபடங்களின் ஹோமோட்டோபி வகுப்புகள் X->Y} என்பது ஹோமோடோபி வகுப்புகளின் தொகுப்பாகும். X= S^n : [ S^n ,Y] = pi_n(Y) (ஹோமோடோபி குழுக்கள்) போது.
Q2Easy
The fundamental group pi_1(X, x_0) consists of homotopy classes of loops based at x_0 (paths with p(0)=p(1)=x_0). The group operation is:
pi_1(X, x_0) என்ற அடிப்படைக் குழுவானது x_0 (p(0) = p(1) =x_0 கொண்ட பாதைகள்) அடிப்படையிலான லூப்களின் ஹோமோடோபி வகுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. குழு செயல்பாடு:
- aPath concatenation: (f*g)(t) = f(2t) for t<=1/2 and g(2t-1) for t>=1/2 — பாதை ஒருங்கிணைப்பு: (f*g)(t) = t<= 1/2க்கு f(2t) மற்றும் t>= 1/2க்கு g(2t-1)✓ Correct
- bFunctional composition — செயல்பாட்டு கலவை
- cPointwise multiplication — புள்ளிவாரியாக பெருக்கல்
- dAddition of path lengths — பாதை நீளம் சேர்த்தல்
Explanation
pi_1 group operation: concatenation of loops. Identity element: constant loop at x_0. Inverse: [f]^{-1} = [f^{-1}] where f^{-1}(t)=f(1-t) (reverse path). The fundamental group is well-defined (concatenation of homotopic loops is homotopic). pi_1 may be non-abelian (unlike pi_n for n>=2).
pi_1 குழு செயல்பாடு: சுழல்களின் ஒருங்கிணைப்பு. அடையாள உறுப்பு: x_0 இல் நிலையான வளையம். தலைகீழ்: [f]^{-1} = [ f^{-1} ] இங்கு f^{-1}(t) = f(1-t) (தலைகீழ் பாதை). அடிப்படைக் குழு நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது (ஹோமோடோபிக் லூப்களின் ஒருங்கிணைப்பு ஹோமோடோபிக் ஆகும்). pi_1 அபிலியன் அல்லாததாக இருக்கலாம் (n>=2க்கான pi_n போலல்லாமல்).
Q3Easy
A path-connected space X is simply connected if pi_1(X,x_0) is trivial. Equivalently:
pi_1(X,x_0) அற்பமானதாக இருந்தால், பாதை-இணைக்கப்பட்ட ஸ்பேஸ் X இணைக்கப்படும். சமமாக:
- aπ₁(S¹) ≅ {0} (trivial group with no non-contractible loops) — π₁(S¹) ≅ {0} (சுருக்க முடியாத வளையங்கள் இல்லாத அற்பக் குழு)
- bπ₁(S¹) ≅ ℝ (uncountable additive group of the real line) — π₁(S¹) ≅ ℝ (மெய் கோட்டின் கணக்கிட முடியாத கூட்டல் குழு)
- cπ₁(S¹) ≅ ℤ (the infinite cyclic group generated by the winding loop) — π₁(S¹) ≅ ℤ (சுற்று வளையத்தால் உருவாக்கப்பட்ட முடிவிலி சுழல் குழு)✓ Correct
- dπ₁(S¹) ≅ ℤ₂ (cyclic group of order 2 with antipodal identification) — π₁(S¹) ≅ ℤ₂ (எதிர்முனை அடையாளத்துடன் வரிசை 2 சுழல் குழு)
Explanation
Simply connected: path-connected + pi_1=0. Equivalent: any loop is nullhomotopic (homotopic to a constant). Also equivalent: any two paths from x to y are homotopic rel endpoints (endpoints fixed). Examples: R^n, S^n (n>=2), disks, convex sets. Non-simply connected: S^1 (pi_1=Z), torus (pi_1=Z^2).
எளிமையாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது: பாதை-இணைக்கப்பட்ட + pi_1=0. சமமானது: எந்த வளையமும் nullhomotopic (ஒரு மாறிலிக்கு ஹோமோடோபிக்) ஆகும். மேலும் சமமானவை: x இலிருந்து y வரையிலான ஏதேனும் இரண்டு பாதைகள் ஹோமோடோபிக் rel எண்ட்புயிண்ட்ஸ் (இறுதிப்புள்ளிகள் நிலையானது). எடுத்துக்காட்டுகள்: R^n , S^n (n>=2), வட்டுகள், குவிந்த தொகுப்புகள். எளிமையாக இணைக்கப்படாதது: S^1 (pi_1=Z), டோரஸ் (pi_1= Z^2) .
Q4Easy
A continuous map f: (X,x_0) -> (Y,y_0) (pointed) induces a group homomorphism f_*: pi_1(X,x_0) -> pi_1(Y,y_0) by:
ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடம் f: (X,x_0) -> (Y,y_0) (சுட்டி) ஒரு குழு ஹோமோமார்பிஸத்தை தூண்டுகிறது f_*: pi_1(X,x_0) -> pi_1(Y,y_0) மூலம்:
- af_*[gamma] = [f circ gamma] — f_*[காமா] = [f சர்க் காமா]✓ Correct
- bf_* is the zero map always — f_* என்பது எப்போதும் பூஜ்ஜிய வரைபடம்
- cf_*[gamma] = [gamma] — f_*[காமா] = [காமா]
- df_*[gamma] = [f^{-1} circ gamma] — f_*[காமா] = [ f^{-1} சர்க் காமா]
Explanation
Induced homomorphism: f_*[gamma] = [f circ gamma] (compose the loop with f). Well-defined on homotopy classes (homotopic loops give homotopic images). f_* is a group homomorphism: f_*([lpha]*[eta]) = f_*([lpha*eta]) = [f circ (lpha*eta)] = [f circ lpha] * [f circ eta] = f_*[lpha] * f_*[eta].
தூண்டப்பட்ட ஹோமோமார்பிசம்: f_*[காமா] = [f சர்க் காமா] (லூப்பை f உடன் உருவாக்கவும்). ஹோமோடோபி வகுப்புகளில் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது (ஹோமோடோபிக் லூப்கள் ஹோமோடோபிக் படங்களை கொடுக்கின்றன). f_* என்பது ஒரு குழு ஹோமோமார்பிசம்: f_*([lpha]*[ eta]) = f_*([lpha* eta]) = [f circ (lpha* eta)] = [f circ lpha] * [f circ eta] = f_*[ lpha] * f_*[ eta].
Q5Easy
If f: X -> Y is a homotopy equivalence (there exists g: Y -> X with g circ f ~ id_X and f circ g ~ id_Y), then the induced maps on fundamental groups satisfy:
f: X -> Y என்பது ஒரு ஹோமோடோபி சமமானதாக இருந்தால் (g: Y -> X உடன் g circ f ~ id_X மற்றும் f circ g ~ id_Y உள்ளது), பின்னர் அடிப்படைக் குழுக்களில் உள்ள தூண்டப்பட்ட வரைபடங்கள் திருப்திகரமாக இருக்கும்:
- af_* is an isomorphism on pi_1 (homotopy equivalences induce isomorphisms on all homotopy groups) — f_* என்பது pi_1 இல் ஒரு ஐசோமார்பிஸம் (ஹோமோடோபி சமன்பாடுகள் அனைத்து ஹோமோடோபி குழுக்களிலும் ஐசோமார்பிஸங்களைத் தூண்டுகின்றன)✓ Correct
- bf_* is the zero homomorphism — f_* என்பது பூஜ்ஜிய ஹோமோமார்பிசம்
- cf_* depends on the choice of base point only — f_* அடிப்படை புள்ளியின் தேர்வை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது
- dpi_1(X) = pi_1(Y) only if X and Y are homeomorphic — pi_1(X) = pi_1(Y) என்பது X மற்றும் Y ஹோமியோமார்ஃபிக் என்றால் மட்டுமே
Explanation
Homotopy invariance: if f: X->Y is a homotopy equivalence, then f_*: pi_n(X)->pi_n(Y) is an isomorphism for all n>=0. Proof: (g circ f)_* = g_* circ f_* = (id_X)_* = identity, so f_* is injective and g_* is surjective; similarly f_* is surjective. So pi_1 is a homotopy invariant.
ஹோமோடோபி மாறுபாடு: f: X->Y என்பது ஹோமோடோபி சமன்பாடு என்றால், f_*: pi_n(X) -> pi_n(Y) என்பது அனைத்து n>=0க்கும் ஒரு ஐசோமார்பிஸம் ஆகும். ஆதாரம்: (g circ f)_* = g_* circ f_* = (id_X)_* = அடையாளம், எனவே f_* என்பது ஊசி மற்றும் g_* என்பது surjective; இதேபோல் f_* என்பது surjective. எனவே pi_1 ஒரு ஹோமோடோபி மாறாதது.
20 more questions on Homotopy and Fundamental Group
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 3 PG TRB subjects.