Classification of 2nd Order PDEs — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Classification of 2nd Order PDEs, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

For the PDE Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = G, the discriminant is:

PDE Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = G க்கு, பாகுபாடு:

  1. aB^2-AC✓ Correct
  2. bA+C — ஏ+சி
  3. cA-C — ஏ-சி
  4. dB^2+AC

Explanation

Discriminant Delta = B^2-AC. Classification: Delta<0 -> elliptic (like Laplace equation), Delta=0 -> parabolic (like heat equation), Delta>0 -> hyperbolic (like wave equation). For variable-coefficient PDEs, the type may vary at different points.

பாரபட்சமான டெல்டா = B^2-AC . வகைப்பாடு: டெல்டா<0 -> நீள்வட்டம் (லாப்லேஸ் சமன்பாடு போன்றவை), டெல்டா=0 -> பரவளையம் (வெப்ப சமன்பாடு போன்றவை), டெல்டா>0 -> ஹைபர்போலிக் (அலை சமன்பாடு போன்றவை). மாறி குணகம் PDE களுக்கு, வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வகை மாறுபடலாம்.

Q2Easy

The Laplace equation u_xx + u_yy = 0 is elliptic. An important property of elliptic equations is:

Laplace சமன்பாடு u_xx + u_yy = 0 நீள்வட்டமானது. நீள்வட்ட சமன்பாடுகளின் முக்கியமான பண்பு:

  1. aB² − AC = 0 (exactly one family of real characteristics) — B² − AC = 0 (மெய் சிறப்பியல்புகளின் சரியாக ஒரு குடும்பம்)
  2. bB² − AC < 0 (no real characteristics in the domain) — B² − AC < 0 (அரங்கத்தில் மெய் சிறப்பியல்புகள் இல்லை)
  3. cB² − AC > 0 (two distinct families of real characteristics) — B² − AC > 0 (மெய் சிறப்பியல்புகளின் இரு தனித்த குடும்பங்கள்)✓ Correct
  4. dA + C = 0 with B = 0 identically everywhere — எங்கும் முற்றொருமையாக B = 0 உடன் A + C = 0

Explanation

Elliptic equations have maximum regularity: solutions to Lu=f are as smooth as f allows (elliptic regularity). For the Laplace equation: solutions are real analytic (infinitely differentiable). No finite propagation speed -- changes at the boundary affect the entire interior instantaneously.

நீள்வட்ட சமன்பாடுகள் அதிகபட்ச ஒழுங்கமைப்பைக் கொண்டுள்ளன: Lu=f க்கான தீர்வுகள் f அனுமதிக்கும் (நீள்வட்ட ஒழுங்குமுறை) அளவுக்கு மென்மையாக இருக்கும். லாப்லேஸ் சமன்பாட்டிற்கு: தீர்வுகள் உண்மையான பகுப்பாய்வு ஆகும் (எல்லையற்ற வேறுபடுத்தக்கூடியவை). வரையறுக்கப்பட்ட பரவல் வேகம் இல்லை -- எல்லையில் ஏற்படும் மாற்றங்கள் முழு உட்புறத்தையும் உடனடியாக பாதிக்கிறது.

Q3Easy

The heat equation u_t = k*u_xx is parabolic. The discriminant B^2-AC for this equation (treating as Au_tt+2Bu_tx+Cu_xx):

வெப்ப சமன்பாடு u_t = k*u_xx பரவளையமானது. இந்த சமன்பாட்டிற்கான பாகுபாடு B^2-AC (Au_tt+2Bu_tx+Cu_xx ஆகக் கருதப்படுகிறது):

  1. aB^2-AC = 1 > 0
  2. bB^2-AC = -1 < 0 — B^2-AC = -1 <0
  3. cB^2-AC = 0 (parabolic) — B^2-AC = 0 (பரவளையம்)✓ Correct
  4. dB^2-AC = k — B^2-AC = கே

Explanation

Heat equation: rewrite as 0*u_tt + 0*u_tx + (-k)u_xx + 1*u_t = 0. Here A=0 (coefficient of u_tt), B=0, C=-k. Discriminant: B^2-AC = 0-0*(-k) = 0. Parabolic. The parabolic type has an "infinite speed of propagation" (effects are felt everywhere immediately).

வெப்ப சமன்பாடு: 0*u_tt + 0*u_tx + (-k)u_xx + 1*u_t = 0 என மீண்டும் எழுதவும். இங்கே A=0 (u_tt இன் குணகம்), B=0, C=-k. பாகுபாடு: B^2-AC = 0-0*(-k) = 0. பரபோலிக். பரவளைய வகை "பரபரப்பின் எல்லையற்ற வேகம்" கொண்டது (விளைவுகள் உடனடியாக எல்லா இடங்களிலும் உணரப்படுகின்றன).

Q4Easy

The wave equation u_tt = c^2*u_xx is hyperbolic. The two families of characteristic curves are:

அலை சமன்பாடு u_tt = c^2 *u_xx ஹைபர்போலிக் ஆகும். சிறப்பியல்பு வளைவுகளின் இரண்டு குடும்பங்கள்:

  1. aB² − AC = 0 (one family of real characteristics, e.g., heat equation) — B² − AC = 0 (மெய் சிறப்பியல்புகளின் ஒரு குடும்பம், எ.கா., வெப்பச் சமன்பாடு)✓ Correct
  2. bB² − AC < 0 (elliptic equation with complex characteristics) — B² − AC < 0 (கலப்பு சிறப்பியல்புகள் கொண்ட நீள்வட்ட சமன்பாடு)
  3. cB² + AC = 0 with positive leading coefficients — நேர்மறை முதன்மைக் கெழுக்களுடன் B² + AC = 0
  4. dB² − AC > 0 (two distinct families of real characteristics) — B² − AC > 0 (மெய் சிறப்பியல்புகளின் இரு தனித்த குடும்பங்கள்)

Explanation

Characteristics of u_tt-c^2 u_xx=0: dy^2-c^2 dx^2=0 (using D'Alembert) or dt/dx=±1/c. Integrating: x+ct=const (one family) and x-ct=const (other family). These are the characteristics. By substituting xi=x+ct, eta=x-ct, the wave equation becomes u_xi_eta=0 (canonical form).

u_tt- c^2 u_xx=0 இன் பண்புகள்: dy^2-c^2 dx^2 =0 (D'Alembert ஐப் பயன்படுத்தி) அல்லது dt/dx=±1/c. ஒருங்கிணைத்தல்: x+ct=const (ஒரு குடும்பம்) மற்றும் x-ct=const (மற்ற குடும்பம்). இவைதான் பண்புகள். xi=x+ct, eta=x-ct ஐ மாற்றுவதன் மூலம், அலைச் சமன்பாடு u_xi_eta=0 (நியமன வடிவம்) ஆகிறது.

Q5Easy

The canonical form of a hyperbolic PDE (after change of variables to characteristics xi=xi(x,y), eta=eta(x,y)) is:

ஒரு ஹைபர்போலிக் PDE இன் நியதி வடிவம் (மாறிகளை xi= xi(x,y) , eta= eta(x,y) குணாதிசயங்களுக்கு மாற்றிய பின்):

  1. au_xi_xi = lower order — u_xi_xi = கீழ் வரிசை
  2. bu_xi = lower order — u_xi = கீழ் வரிசை
  3. cu_xi_xi + u_eta_eta = lower order — u_xi_xi + u_eta_eta = குறைந்த வரிசை
  4. du_xi_eta = lower order terms — u_xi_eta = குறைந்த வரிசை விதிமுறைகள்✓ Correct

Explanation

Hyperbolic canonical form: u_xi*eta = H (lower order terms). The characteristics xi=const and eta=const are the natural coordinate curves. In characteristic coordinates, the PDE has no mixed-type terms and the 2nd order principal part is just u_xi*eta.

ஹைபர்போலிக் கேனானிகல் வடிவம்: u_xi*eta = H (குறைந்த வரிசை விதிமுறைகள்). xi=const மற்றும் eta=const ஆகிய பண்புகள் இயற்கையான ஒருங்கிணைப்பு வளைவுகள். சிறப்பியல்பு ஆயங்களில், PDE க்கு கலப்பு வகை விதிமுறைகள் இல்லை மற்றும் 2வது வரிசை முதன்மை பகுதி u_xi*eta மட்டுமே.

20 more questions on Classification of 2nd Order PDEs

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing