Q1Easy
Rolle's theorem is a special case of the Mean Value Theorem when f(a) = f(b). The conclusion is: there exists c ∈ (a,b) with f'(c) =
ரோல்லின் தேற்றம் என்பது f(a) = f(b) ஆக இருக்கும் போது சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும். முடிவு: f'(c) = உடன் c ∈ (a,b) உள்ளது
- a(f(b)−f(a))/(b−a) — (f(b) - f(a))/(b−a)
- b1
- cf(a)
- d0✓ Correct
Explanation
Since f(a)=f(b), the MVT conclusion f'(c)=[f(b)−f(a)]/(b−a) gives f'(c)=0/b−a=0. Geometrically: if f returns to its starting value, the tangent must be horizontal somewhere.
f(a) = f(b) , MVT முடிவு f'(c)=[ f(b) - f(a) ]/(b−a) f'(c)=0/b−a=0 ஐ வழங்குகிறது. வடிவியல் ரீதியாக: f அதன் தொடக்க மதிப்புக்கு திரும்பினால், தொடுகோடு எங்காவது கிடைமட்டமாக இருக்க வேண்டும்.
Q2Easy
Using MVT, if f is differentiable on ℝ and f'(x) ≥ 0 for all x, then f is:
MVT ஐப் பயன்படுத்தி, அனைத்து xக்கும் f ℝ மற்றும் f'(x) ≥ 0 இல் வேறுபடுத்தப்பட்டால், f என்பது:
- aBounded above — மேலே கட்டப்பட்டது
- bConstant — நிலையான
- cNon-decreasing (monotone increasing) — குறையாத (மோனோடோன் அதிகரிக்கும்)✓ Correct
- dStrictly decreasing — கண்டிப்பாக குறைகிறது
Explanation
By MVT: f(x)−f(y) = f'(c)(x−y) for some c between x and y. If x>y, then f'(c)≥0 implies f(x)≥f(y). So f is non-decreasing. If f'>0 everywhere, f is strictly increasing.
MVT மூலம்: f(x) - f(y) = f'(c)(x−y) x மற்றும் y க்கு இடையில் சில c க்கு. x>y எனில், f'(c)≥0 என்பது f(x) ≥ f(y) ஐக் குறிக்கிறது. எனவே f என்பது குறையாதது. எல்லா இடங்களிலும் f'>0 எனில், f கண்டிப்பாக அதிகரித்து வருகிறது.
Q3Easy
For f(x) = x² on [1,3], the value of c guaranteed by the MVT is:
[1,3] இல் f(x) = x²க்கு, MVT உத்தரவாதம் அளிக்கும் c இன் மதிப்பு:
- a2✓ Correct
- b3
- c1
- d√5
Explanation
MVT: f'(c) = [f(3)−f(1)]/(3−1) = (9−1)/2 = 4. Since f'(x)=2x, 2c=4 gives c=2. Note c=2 is indeed in (1,3).
MVT: f'(c) = [ f(3) - f(1) ]/(3−1) = (9−1)/2 = 4. f'(x)=2x என்பதால், 2c=4 ஆனது c=2 ஐ தருகிறது. குறிப்பு c=2 உண்மையில் (1,3) இல் உள்ளது.
Q4Easy
Cauchy's MVT with g(x) = x reduces to:
g(x) = x உடன் Cauchy இன் MVT குறைக்கிறது:
- aRolle's theorem — ரோலின் தேற்றம்
- bL'Hôpital's rule — L'Hôpital விதி
- cTaylor's theorem — டெய்லரின் தேற்றம்
- dLagrange's MVT — லாக்ரேங்கின் எம்விடி✓ Correct
Explanation
With g(x)=x: g'(c)=1 and [g(b)−g(a)]=[b−a]. Cauchy MVT gives [f(b)−f(a)]/[b−a]=f'(c)/1=f'(c). This is exactly Lagrange's MVT.
g(x) =x: g'(c)=1 மற்றும் [g(b) - g(a) ]=[b−a] உடன். Cauchy MVT ஆனது [ f(b) - f(a) ]/[b−a]=f'(c)/1=f'(c) ஐ வழங்குகிறது. இது சரியாக லாக்ரேஞ்சின் MVT ஆகும்.
Q5Easy
If f is differentiable on (a,b) and |f'(x)| ≤ M for all x ∈ (a,b), then for x,y ∈ (a,b):
f என்றால் (a,b) மற்றும் |f'(x)| ≤ M அனைத்து x ∈ (a,b), பின்னர் x,y ∈ (a,b):
- a|f(x)−f(y)| ≤ M|x−y| (f is Lipschitz) — | f(x) − f(y) | ≤ எம்|x−y| (f என்பது லிப்சிட்ஸ்)✓ Correct
- bf'(x) = 0 at some point — ஒரு கட்டத்தில் f'(x) = 0
- cf is bounded by M — f ஆனது M ஆல் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது
- df is constant — f நிலையானது
Explanation
By MVT: f(x)−f(y)=f'(c)(x−y) for some c between x and y. Taking absolute values: |f(x)−f(y)|=|f'(c)||x−y|≤M|x−y|. So f is Lipschitz with constant M.
MVT மூலம்: f(x) − f(y) =f'(c)(x−y) x மற்றும் y க்கு இடையில் சில c. முழுமையான மதிப்புகளை எடுத்தல்: | f(x) - f(y) |=|f'(c)||x−y|≤M|x−y|. எனவே f என்பது லிப்சிட்ஸ் நிலையான M உடன் உள்ளது.
20 more questions on Mean Value Theorems
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.