Q1Easy
fₙ → f uniformly on E if for every ε > 0, there exists N such that for all n > N and ALL x ∈ E:
fₙ → f ஒரே சீராக E இல் இருந்தால், ஒவ்வொரு ε > 0 க்கும், N > N மற்றும் ALL x ∈ E க்கும் N உள்ளது:
- a|fₙ(x) − fₙ₋₁(x)| < ε
- b|fₙ(x) − f(x)| < ε — |fₙ(x) - f(x) | < ε✓ Correct
- cfₙ(x) = f(x)
- d|fₙ(x)| < ε
Explanation
Uniform convergence: ∀ε>0, ∃N ∀n>N ∀x∈E: |fₙ(x)−f(x)|<ε. The crucial difference from pointwise convergence: N is independent of x (one N works for all x simultaneously).
சீரான ஒருங்கிணைப்பு: ∀ε>0, ∃N ∀n>N ∀x∈E: |fₙ(x)− f(x) |<ε. பாயிண்ட் வைஸ் கன்வர்ஜென்ஸில் இருந்து முக்கியமான வேறுபாடு: N என்பது x இலிருந்து சுயாதீனமானது (ஒரு N அனைத்து x க்கும் ஒரே நேரத்தில் வேலை செய்கிறது).
Q2Easy
If each fₙ is continuous on E and fₙ → f uniformly on E, then:
ஒவ்வொரு fₙ E இல் தொடர்ச்சியாகவும், fₙ → f E இல் ஒரே சீராகவும் இருந்தால், பின்:
- af is differentiable — f என்பது வேறுபடுத்தக்கூடியது
- bf is bounded — f வரம்புக்குட்பட்டது
- cf need not be continuous — f தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டியதில்லை
- df is continuous on E — f என்பது E இல் தொடர்கிறது✓ Correct
Explanation
Uniform convergence preserves continuity: the uniform limit of continuous functions is continuous. Key theorem: the interchange of limits lim_{n→∞} lim_{x→a} fₙ(x) = lim_{x→a} lim_{n→∞} fₙ(x) is valid under uniform convergence.
சீரான ஒருங்கிணைப்பு தொடர்ச்சியைப் பாதுகாக்கிறது: தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் சீரான வரம்பு தொடர்ச்சியானது. முக்கிய தேற்றம்: lim_{n→∞} lim_{x→a} fₙ(x) = lim_{x→a} lim_{n→∞} fₙ(x) வரம்புகளின் பரிமாற்றம் சீரான ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் செல்லுபடியாகும்.
Q3Easy
If fₙ → f uniformly on [a,b] and each fₙ is Riemann integrable, then:
fₙ → f ஒரே சீராக [a,b] மற்றும் ஒவ்வொரு fₙ ரீமான் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியதாக இருந்தால்:
- aUniform convergence is insufficient to preserve integrability — தொகையிடுதலைப் பாதுகாக்க சீரான குவிதல் போதுமானதாக இல்லை
- bThe limit function f is not necessarily Riemann integrable — எல்லைச் சார்பு f ரீமான் தொகையிடத்தக்கதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை
- cThe integral of the limit function must equal zero — எல்லைச் சார்பின் தொகையீடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்
- dlim ∫ₐᵇ fₙ = ∫ₐᵇ lim fₙ (limit and integral can be interchanged) — lim ∫ₐᵇ fₙ = ∫ₐᵇ lim fₙ (எல்லை மற்றும் தொகையீட்டை பரிமாறிக்கொள்ளலாம்)✓ Correct
Explanation
Uniform convergence allows interchange of limit and integration: lim ∫fₙ = ∫ lim fₙ = ∫f. This fails for mere pointwise convergence (e.g., the sequence of spike functions).
சீரான ஒருங்கிணைப்பு வரம்பு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் பரிமாற்றத்தை அனுமதிக்கிறது: லிம் ∫fₙ = ∫ லிம் fₙ = ∫f. இது வெறும் பாயிண்ட் வைஸ் கன்வர்ஜென்ஸ் (எ.கா., ஸ்பைக் செயல்பாடுகளின் வரிசை) தோல்வியடைகிறது.
Q4Easy
The Cauchy criterion for uniform convergence: fₙ converges uniformly on E iff for every ε > 0, there exists N such that for all m, n > N and all x ∈ E:
சீரான ஒருங்கிணைப்புக்கான Cauchy அளவுகோல்: fₙ ஒவ்வொரு ε > 0 க்கும் E IF இல் ஒரே சீராக ஒன்றிணைகிறது, அனைத்து m, n > N மற்றும் அனைத்து x ∈ E க்கும் N உள்ளது:
- a|fₙ(x)| < |fₘ(x)|
- bfₙ(x) = fₘ(x)
- c|fₙ(x) − fₘ(x)| < ε✓ Correct
- d|fₙ(x)| < ε
Explanation
Cauchy criterion for uniform convergence: (fₙ) is uniformly Cauchy iff ∀ε>0, ∃N, ∀m,n>N, ∀x∈E: |fₙ(x)−fₘ(x)|<ε. This is equivalent to uniform convergence (completeness of uniform convergence).
சீரான ஒருங்கிணைப்புக்கான Cauchy அளவுகோல்: (fₙ) என்பது Cauchy iff ∀ε>0, ∃N, ∀m,n>N, ∀x∈E: |fₙ(x)−fₘ(x)|<ε. இது சீரான ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமம் (சீரான ஒருங்கிணைப்பின் முழுமை).
Q5Easy
The Weierstrass M-test: if |fₙ(x)| ≤ Mₙ for all x ∈ E, and ΣMₙ < ∞, then Σfₙ:
வீயர்ஸ்ட்ராஸ் எம்-டெஸ்ட்: என்றால் |fₙ(x)| ≤ Mₙ அனைத்து x ∈ E, மற்றும் ΣMₙ <∞, பின்னர் Σfₙ:
- aConverges only if fₙ are continuous — fₙ தொடர்ச்சியாக இருந்தால் மட்டுமே ஒன்றிணைகிறது
- bDiverges on E — E இல் வேறுபடுகிறது
- cConverges pointwise but not uniformly — புள்ளியாக ஒன்றிணைகிறது ஆனால் ஒரே சீராக இல்லை
- dConverges absolutely and uniformly on E — E இல் முற்றிலும் மற்றும் ஒரே சீராக ஒன்றிணைகிறது✓ Correct
Explanation
M-test: the series Σfₙ converges absolutely and uniformly on E. It is the most widely used test for uniform convergence of series of functions.
M-test: தொடர் Σfₙ E இல் முற்றிலும் மற்றும் ஒரே சீராக ஒன்றிணைகிறது. இது தொடர் செயல்பாடுகளின் சீரான ஒருங்கிணைப்புக்கு மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் சோதனையாகும்.
20 more questions on Uniform Convergence
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.