Q1Easy
Writing f(z) = u(x,y) + iv(x,y), the Cauchy-Riemann equations are:
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) என எழுதுவது, Cauchy-Riemann சமன்பாடுகள்:
- a∇u = ∇v
- b∂u/∂x = ∂v/∂y and ∂u/∂y = ∂v/∂x — ∂u/∂x = ∂v/∂y மற்றும் ∂u/∂y = ∂v/∂x
- cuₓ = vy only — uₓ = vy மட்டும்
- d∂u/∂x = ∂v/∂y and ∂u/∂y = −∂v/∂x — ∂u/∂x = ∂v/∂y மற்றும் ∂u/∂y = -∂v/∂x✓ Correct
Explanation
Cauchy-Riemann: uₓ = vy and uᵧ = −vₓ. These are necessary (and sufficient with continuity of partials) for f to be analytic. They express that the complex derivative is independent of direction.
Cauchy-Riemann: uₓ = vy மற்றும் uᵧ = −vₓ. எஃப் பகுப்பாய்வாக இருப்பதற்கு இவை அவசியம் (மற்றும் பகுதிகளின் தொடர்ச்சியுடன் போதுமானது). சிக்கலான வழித்தோன்றல் திசையிலிருந்து சுயாதீனமாக இருப்பதை அவர்கள் வெளிப்படுத்துகிறார்கள்.
Q2Easy
Verify f(z) = z² = (x²−y²) + i(2xy). Then u = x²−y², v = 2xy. The C-R equations:
f(z) = z² = (x²−y²) + i(2xy) ஐச் சரிபார்க்கவும். பிறகு u = x²−y², v = 2xy. சி-ஆர் சமன்பாடுகள்:
- aAre not satisfied — திருப்தி அடையவில்லை
- buₓ = 2x = vy = 2x ✓; uᵧ = −2y = −vₓ = −2y ✓ (satisfied) — uₓ = 2x = vy = 2x ✓; uᵧ = −2y = −vₓ = −2y ✓ (திருப்தி)✓ Correct
- cHold only at z=1 — z=1 இல் மட்டும் பிடிக்கவும்
- dHold only at z=0 — z=0 இல் மட்டும் பிடிக்கவும்
Explanation
uₓ = 2x, vy = 2x ✓. uᵧ = −2y, −vₓ = −2y ✓. C-R equations hold everywhere, confirming f(z)=z² is entire.
uₓ = 2x, vy = 2x ✓. uᵧ = −2y, −vₓ = −2y ✓. C-R சமன்பாடுகள் எல்லா இடங்களிலும் உள்ளன, f(z) =z² முழுமை என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது.
Q3Easy
f(z) = z̄ = x − iy. Here u = x, v = −y. The C-R equations give:
f(z) = z̄ = x - iy. இங்கே u = x, v = -y. C-R சமன்பாடுகள் கொடுக்கின்றன:
- auₓ = 1 = vy = −1 ✗ (not satisfied) — uₓ = 1 = vy = −1 ✗ (திருப்தி அடையவில்லை)✓ Correct
- bf is analytic on ℂ\{0} — f என்பது ℂ\{0} இல் பகுப்பாய்வு ஆகும்
- cf is analytic on the real axis — f என்பது உண்மையான அச்சில் பகுப்பாய்வு ஆகும்
- dC-R are satisfied — C-R திருப்தி அடைந்துள்ளது
Explanation
uₓ=1, vy=−1: they're not equal. So z̄ is nowhere analytic (differentiable). The complex conjugate function is the most basic example of a non-analytic function.
uₓ=1, vy=−1: அவை சமமாக இல்லை. எனவே z̄ எங்கும் பகுப்பாய்வு இல்லை (வேறுபடுத்தக்கூடியது). பகுப்பாய்வு அல்லாத செயல்பாட்டின் மிக அடிப்படையான உதாரணம் சிக்கலான கூட்டுச் செயல்பாடு ஆகும்.
Q4Easy
If f = u + iv is analytic, the complex derivative can be expressed as:
f = u + iv பகுப்பாய்வாக இருந்தால், சிக்கலான வழித்தோன்றலை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம்:
- a∂u/∂x = ∂v/∂y and ∂u/∂y = −∂v/∂x with continuous partials — தொடர்ச்சியான பகுதி வகைக்கெழுக்களுடன் ∂u/∂x = ∂v/∂y மற்றும் ∂u/∂y = −∂v/∂x✓ Correct
- b∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 without conditions on v — v மீதான நிபந்தனைகள் இன்றி ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0
- c∂u/∂x · ∂v/∂y − ∂u/∂y · ∂v/∂x = 0 identically — முற்றொருமையாக ∂u/∂x · ∂v/∂y − ∂u/∂y · ∂v/∂x = 0
- d∂u/∂x = −∂v/∂y and ∂u/∂y = ∂v/∂x everywhere in the domain — அரங்கம் முழுவதும் ∂u/∂x = −∂v/∂y மற்றும் ∂u/∂y = ∂v/∂x
Explanation
f'(z) = ∂f/∂x = uₓ + ivₓ. Using C-R: uₓ=vy and vₓ=−uᵧ, so f'=uₓ+ivₓ=vy−iuᵧ. Both expressions give the same derivative.
f'(z) = ∂f/∂x = uₓ + ivₓ. C-R ஐப் பயன்படுத்துதல்: uₓ=vy மற்றும் vₓ=−uᵧ, எனவே f'=uₓ+ivₓ=vy−iuᵧ. இரண்டு வெளிப்பாடுகளும் ஒரே வழித்தோன்றலைக் கொடுக்கின்றன.
Q5Easy
C-R equations are necessary for analyticity. They are also sufficient if additionally:
பகுப்பாய்விற்கு C-R சமன்பாடுகள் அவசியம். கூடுதலாக இருந்தால் அவை போதுமானவை:
- aThe partial derivatives uₓ, uᵧ, vₓ, vᵧ exist and are continuous — பகுதி வழித்தோன்றல்கள் uₓ, uᵧ, vₓ, vᵧ உள்ளன மற்றும் தொடர்ந்து உள்ளன✓ Correct
- bf is bounded — f வரம்புக்குட்பட்டது
- cu = v
- du and v are continuous — u மற்றும் v தொடர்ச்சியானது
Explanation
Sufficient condition (Goursat): if the first partial derivatives of u and v exist, are continuous, and satisfy C-R equations, then f is analytic. C-R alone (without continuity of partials) is not sufficient.
போதுமான நிலை (Goursat): u மற்றும் v இன் முதல் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியாக இருந்து, C-R சமன்பாடுகளை திருப்திப்படுத்தினால், f என்பது பகுப்பாய்வு ஆகும். C-R மட்டும் (பகுதிகளின் தொடர்ச்சி இல்லாமல்) போதுமானதாக இல்லை.
20 more questions on Cauchy-Riemann Equations
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.