Q1Easy
f is differentiable at x if lim_{h→0} [f(x+h)−f(x)]/h exists. This limit is called:
lim_{h→0} [ f(x+h) - f(x) ]/h இருந்தால் f என்பது x இல் வேறுபடும். இந்த வரம்பு அழைக்கப்படுகிறது:
- aThe modulus of continuity — தொடர்ச்சியின் மாடுலஸ்
- bThe limit superior of f — எஃப் இன் உச்சவரம்பு
- cThe integral of f at x — x இல் f இன் ஒருங்கிணைப்பு
- df'(x), the derivative of f at x — f'(x), x இல் f இன் வழித்தோன்றல்✓ Correct
Explanation
The derivative f'(x) = lim_{h→0}[f(x+h)−f(x)]/h when this limit exists. Geometrically, f'(x) is the slope of the tangent line to the graph of f at (x, f(x)).
இந்த வரம்பு இருக்கும்போது f'(x) = lim_{h→0}[ f(x+h) − f(x) ]/h. வடிவியல் ரீதியாக, f'(x) என்பது (x, f(x) ) f இன் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வாகும்.
Q2Easy
The product rule states: (fg)' =
தயாரிப்பு விதி கூறுகிறது: (fg)' =
- afg' − f'g — fg' - f'g
- b(f'+g')/fg
- cf'g + fg'✓ Correct
- df'g'
Explanation
Product rule (Leibniz): (fg)' = f'g + fg'. Proof from first principles: [f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)]/h = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) after adding and subtracting f(x+h)g(x).
தயாரிப்பு விதி (Leibniz): (fg)' = f'g + fg'. முதல் கொள்கைகளிலிருந்து ஆதாரம்: [ f(x+h) g(x+h) − f(x) g(x) ]/h = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) f(x+h) g(x) ஐ கூட்டி கழித்த பிறகு.
Q3Easy
Differentiability at a point implies:
ஒரு புள்ளியில் உள்ள வேறுபாடு குறிக்கிறது:
- aUniform continuity on an interval — ஒரு இடைவெளியில் சீரான தொடர்ச்சி
- bTwice differentiability — இருமுறை வேறுபாடு
- cContinuity at that point — அந்த இடத்தில் தொடர்ச்சி✓ Correct
- dAnalyticity — பகுப்பாய்வு
Explanation
If f is differentiable at x₀, then f is continuous at x₀. Proof: f(x₀+h)−f(x₀) = [f(x₀+h)−f(x₀)]/h · h → f'(x₀)·0 = 0 as h→0. The converse is false (|x| is continuous but not differentiable at 0).
f என்பது x₀ இல் வேறுபட்டால், f என்பது x₀ இல் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். ஆதாரம்: f(x₀+h) − f(x₀) = [ f(x₀+h) − f(x₀) ]/h · h → f'(x₀)·0 = 0 என h→0. உரையாடல் தவறானது (|x| தொடர்ச்சியாக உள்ளது ஆனால் 0 இல் வேறுபடுத்த முடியாது).
Q4Easy
The chain rule: if h(x) = f(g(x)), then h'(x) =
சங்கிலி விதி: h(x) = f(g(x) என்றால், h'(x) =
- af'(x)·g'(x)
- bf(g'(x))
- cf'(g'(x))
- df'(g(x))·g'(x) — f'(g(x) )·g'(x)✓ Correct
Explanation
Chain rule: (f∘g)'(x) = f'(g(x))·g'(x). The derivative of the composition is the outer derivative (evaluated at the inner function) times the inner derivative.
சங்கிலி விதி: (f∘g)'(x) = f'(g(x) )·g'(x). கலவையின் வழித்தோன்றல் என்பது வெளிப்புற வழித்தோன்றலாகும் (உள் செயல்பாட்டில் மதிப்பிடப்படுகிறது) உள் வழித்தோன்றல் மடங்கு ஆகும்.
Q5Easy
The Mean Value Theorem states: if f is continuous on [a,b] and differentiable on (a,b), then there exists c ∈ (a,b) such that:
சராசரி மதிப்பு தேற்றம் கூறுகிறது: f ஆனது [a,b] இல் தொடர்ச்சியாகவும் (a,b) இல் வேறுபடுத்தக்கூடியதாகவும் இருந்தால், c ∈ (a,b) உள்ளது:
- af'(c) = 0
- bf(c) = (f(a)+f(b))/2 — f(c) = (f(a) + f(b))/2
- cf'(c) = (f(b)−f(a))/(b−a) — f'(c) = ( f(b) - f(a) )/(b−a)✓ Correct
- df(c) = 0
Explanation
MVT (Lagrange): ∃c ∈ (a,b) with f'(c) = [f(b)−f(a)]/(b−a). The derivative equals the slope of the secant line at some interior point. Geometrically: the tangent at c is parallel to the chord AB.
MVT (Lagrange): ∃c ∈ (a,b) f'(c) = [ f(b) − f(a) ]/(b−a). வழித்தோன்றல் சில உள் புள்ளியில் செகண்ட் கோட்டின் சாய்வுக்கு சமம். வடிவியல் ரீதியாக: c இல் உள்ள தொடுகோடு நாண் AB க்கு இணையாக உள்ளது.
20 more questions on Differentiability
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.