Group Theory — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Group Theory, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

The order of the symmetric group Sₙ is:

Sₙ சமச்சீர் குழுவின் வரிசை:

  1. an! — என்!✓ Correct
  2. b2^n
  3. cn
  4. d2n

Explanation

Sₙ consists of all permutations of n elements. The number of permutations of n distinct objects is n!, so |Sₙ| = n!.

Sₙ n உறுப்புகளின் அனைத்து வரிசைமாற்றங்களையும் கொண்டுள்ளது. n தனித்துவமான பொருள்களின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை n!, எனவே |Sₙ| = என்!.

Q2Easy

A group (G,∗) must satisfy all of the following EXCEPT:

ஒரு குழு (G,∗) பின்வருவனவற்றைத் தவிர மற்ற அனைத்தையும் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:

  1. aAssociativity — அசோசியேட்டிவிட்டி
  2. bCommutativity — மாற்றுத்திறன்✓ Correct
  3. cClosure — மூடல்
  4. dExistence of inverse for each element — ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் தலைகீழ் இருப்பு

Explanation

Groups require closure, associativity, identity, and inverses. Commutativity (ab = ba) is NOT required; it defines abelian groups.

குழுக்களுக்கு மூடல், தொடர்பு, அடையாளம் மற்றும் தலைகீழ் தேவை. பரிமாற்றம் (ab = ba) தேவையில்லை; இது அபிலியன் குழுக்களை வரையறுக்கிறது.

Q3Easy

Every group of prime order p is:

பிரைம் ஆர்டர் p இன் ஒவ்வொரு குழுவும்:

  1. aCyclic and isomorphic to ℤₚ — சுழற்சி மற்றும் ℤₚ உடன் சமவுருவமானது✓ Correct
  2. bSimple but not necessarily abelian — எளிய குரூப் ஆனால் அபேலியன் அல்ல
  3. cNon-abelian with trivial center — எளிய மையத்தைக் கொண்ட அபேலியன் அல்லாத குரூப்
  4. dAbelian but not necessarily cyclic — அபேலியன் ஆனால் சுழற்சி அல்ல

Explanation

By Lagrange's theorem, a group of prime order p has no proper non-trivial subgroups, making it cyclic (generated by any non-identity element) and hence ℤₚ. It is also simple (no normal subgroups other than {e} and G).

லாக்ரேஞ்ச் தேற்றத்தின்படி, பிரைம் ஆர்டர் p இன் குழுவானது சரியான அற்பமற்ற துணைக்குழுக்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை, இது சுழற்சியாக (எந்தவொரு அடையாளமற்ற உறுப்புகளாலும் உருவாக்கப்படுகிறது) எனவே ℤₚ. இது எளிமையானது ({e} மற்றும் G தவிர வேறு சாதாரண துணைக்குழுக்கள் இல்லை).

Q4Easy

Lagrange's theorem states that for a finite group G and subgroup H:

லாக்ரேஞ்ச் தேற்றம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட குழு G மற்றும் துணைக்குழு H:

  1. a|H| + [G:H] = |G| — |எச்| + [G:H] = |G|
  2. b|H| = |G|/2 always — |எச்| = |ஜி|/2 எப்போதும்
  3. c|H| · [G:H] = |G| — |எச்| · [G:H] = |G|✓ Correct
  4. dH must be normal in G — G இல் H இயல்பாக இருக்க வேண்டும்

Explanation

Lagrange's theorem: |G| = |H| · [G:H], where [G:H] is the index (number of distinct cosets of H in G).

லாக்ரேஞ்ச் தேற்றம்: |ஜி| = |எச்| · [G:H], இதில் [G:H] என்பது குறியீடாகும் (G இல் H இன் வேறுபட்ட கூட்டுத்தொகைகளின் எண்ணிக்கை).

Q5Easy

The center Z(G) of a group G is:

G குழுவின் மைய Z(G):

  1. aNot necessarily a subgroup — ஒரு துணைக்குழு அவசியமில்லை
  2. bAlways trivial ({e}) — எப்போதும் அற்பமானது ({e})
  3. cA normal subgroup of G — G இன் சாதாரண துணைக்குழு✓ Correct
  4. dEqual to G for all groups — அனைத்து குழுக்களுக்கும் G க்கு சமம்

Explanation

Z(G) = {z ∈ G : zg = gz for all g ∈ G} is always a normal subgroup of G. It equals G iff G is abelian.

Z(G) = {z ∈ G : zg = gz அனைத்திற்கும் g ∈ G} என்பது எப்போதும் G இன் சாதாரண துணைக்குழுவாகும். இது G iff G என்பது abelian ஆகும்.

20 more questions on Group Theory

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing