Numerical Solution of PDEs — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Numerical Solution of PDEs, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

The FTCS (Forward Time Centered Space) scheme for the heat equation u_t = alpha*u_{xx}: u^{n+1}_j = u^n_j + r*(u^n_{j+1}-2*u^n_j+u^n_{j-1}) where r=alpha*dt/dx^2. This scheme is:

u_t = ஆல்பா*u_{xx} வெப்பச் சமன்பாட்டிற்கான FTCS (முன்னோக்கி நேரத்தை மையப்படுத்திய இடம்) திட்டம்: u^{n+1}_j = u^n_j + r*( u^n_{j+1}-2 * u^n_j+u^n_{j-1}) இதில் r=alpha*dt/ dx^2 . இந்தத் திட்டம்:

  1. aOf order 2 in time — ஆர்டர் 2 நேரத்தில்
  2. bUnconditionally stable — நிபந்தனையின்றி நிலையானது
  3. cConditionally stable: requires r <= 1/2 for stability (von Neumann analysis gives stability condition |1-2r| <= 1) — நிபந்தனையுடன் நிலையானது: நிலைத்தன்மைக்கு r <= 1/2 தேவைப்படுகிறது (வான் நியூமன் பகுப்பாய்வு நிலைத்தன்மை நிலையை அளிக்கிறது |1-2r| <= 1)✓ Correct
  4. dUnconditionally unstable — நிபந்தனையின்றி நிலையற்றது

Explanation

FTCS stability: von Neumann analysis -- substitute u^n_j = rho^n*e^{i*k*j*dx}. Amplification factor: rho = 1 - 4r*sin^2(k*dx/2). Stable when |rho|<=1 for all k: |1-4r*sin^2(theta)|<=1. Worst case (theta=pi/2): |1-4r|<=1 => r<=1/2. So dt <= dx^2/(2*alpha). This is the CFL-like condition for the heat equation. Order: O(dt, dx^2) = O(dt, h^2).

FTCS நிலைத்தன்மை: வான் நியூமன் பகுப்பாய்வு -- மாற்று u^n_j = rho^n * e^{i *k*j*dx}. பெருக்க காரணி: rho = 1 - 4r* sin^2(k *dx/2). நிலையான போது |rho|<=1 அனைத்து k: |1-4r* u^n_j0 |<=1. மோசமான நிலை (theta=pi/2): |1-4r|<=1 => r<= u^n_j1 . எனவே dt <= u^n_j2 /(2*alpha). இது வெப்ப சமன்பாட்டிற்கான CFL போன்ற நிலை. ஆர்டர்: u^n_j3 = u^n_j4 .

Q2Easy

The Crank-Nicolson scheme for u_t=alpha*u_{xx}: u^{n+1}_j = u^n_j + r/2*(u^n_{j+1}-2u^n_j+u^n_{j-1}+u^{n+1}_{j+1}-2u^{n+1}_j+u^{n+1}_{j-1}). This scheme is:

u_t=alpha*u_{xx} க்கான Crank-Nicolson திட்டம்: u^{n+1}_j = u^n_j + r/2*( u^n_{j+1}-2u^n_j+u^n_{j-1}+u^{n+1}_{j+1}-2u^{n+1}_j+u^{n+1}_{j-1}) . இந்தத் திட்டம்:

  1. aExplicit and conditionally stable — வெளிப்படையான மற்றும் நிபந்தனைக்குட்பட்ட நிலையானது
  2. bFirst order in time — சரியான நேரத்தில் முதல் ஆர்டர்
  3. cImplicit, unconditionally stable, and of order O(dt^2, dx^2) -- the amplification factor |rho|<=1 for all r — மறைமுகமான, நிபந்தனையின்றி நிலையான மற்றும் O(dt^2, dx^2) வரிசை -- அனைத்து rக்கும் பெருக்கும் காரணி |rho|<=1✓ Correct
  4. dUnstable for all r — அனைவருக்கும் நிலையற்றது r

Explanation

Crank-Nicolson: average of explicit and implicit discretizations (theta-method with theta=1/2). Amplification factor: rho=(1-2r*sin^2(theta/2))/(1+2r*sin^2(theta/2)). Since 0<= sin^2 <=1 and r>0: 0<rho<=1 -- unconditionally stable. Order: O(dt^2) in time (trapezoidal rule) and O(dx^2) in space -- second order in both. Widely used for heat/diffusion equations.

Crank-Nicolson: வெளிப்படையான மற்றும் மறைமுகமான தனித்தன்மையின் சராசரி (தீட்டா= 1/2 உடன் தீட்டா-முறை). பெருக்க காரணி: rho=(1-2r* sin^2(theta /2))/(1+2r* sin^2(theta /2)). 0<= sin^2 <=1 மற்றும் r>0: 0<rho<=1 -- நிபந்தனையின்றி நிலையானது. வரிசை: நேரத்தில் O(dt^2) (டிரேப்சாய்டல் விதி) மற்றும் O(dx^2) விண்வெளியில் -- இரண்டிலும் இரண்டாவது வரிசை. வெப்பம்/பரவல் சமன்பாடுகளுக்கு பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

Q3Easy

The upwind scheme for the advection equation u_t + c*u_x = 0 (c>0): u^{n+1}_j = u^n_j - c*dt/dx*(u^n_j - u^n_{j-1}). The CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) condition for stability is:

u_t + c*u_x = 0 (c>0) சமன்பாட்டிற்கான மேல்நோக்கித் திட்டம்: u^{n+1}_j = u^n_j - c*dt/dx*( u^n_j - u^n_{j-1}). நிலைத்தன்மைக்கான CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) நிபந்தனை:

  1. ac*dt/dx <= 1 (nu <= 1 where nu = c*dt/dx is the CFL number) — c*dt/dx <= 1 (nu <= 1 இங்கு nu = c*dt/dx என்பது CFL எண்)✓ Correct
  2. bc*dt/dx = 0
  3. cc*dt/dx >= 1
  4. dc*dt/dx >= 2

Explanation

Upwind scheme CFL: amplification factor rho=1-nu*(1-e^{-i*k*dx}). |rho|^2=1-2nu(1-nu)(1-cos(k*dx)). For stability: |rho|<=1 requires nu(1-nu)>=0, i.e., 0<=nu<=1. Physical: if nu=1: information travels exactly one grid cell per time step (perfect). If nu>1: the scheme takes information from the wrong side of the characteristics (unstable). First-order: O(dt,dx).

மேல்நோக்கி திட்டம் CFL: பெருக்க காரணி rho=1-nu*(1- e^{-i *k*dx}). |rho|^2=1-2 nu(1-nu) (1- cos(k*dx) ). நிலைத்தன்மைக்கு: |rho|<=1 க்கு nu(1-nu) >=0, அதாவது 0<=nu<=1 தேவை. இயற்பியல்: nu=1 எனில்: தகவல் ஒரு நேரப் படிக்கு சரியாக ஒரு கட்டக் கலத்தில் பயணிக்கிறது (சரியானது). nu>1 எனில்: இந்தத் திட்டம் குணாதிசயங்களின் தவறான பக்கத்திலிருந்து தகவலைப் பெறுகிறது (நிலையற்றது). முதல்-வரிசை: O(dt,dx) .

Q4Easy

The Lax-Wendroff scheme for u_t + c*u_x = 0: u^{n+1}_j = u^n_j - nu/2*(u^n_{j+1}-u^n_{j-1}) + nu^2/2*(u^n_{j+1}-2*u^n_j+u^n_{j-1}) where nu=c*dt/dx. This scheme:

u_t + c*u_x = 0 க்கான Lax-Wendroff திட்டம்: u^{n+1}_j = u^n_j - nu/2*( u^n_{j+1}-u^n_{j-1}) + nu^2 /2*( u^n_{j+1}-2 * u^n_j+u^n_{j-1}) இதில் nu=c*dt/dx. இந்தத் திட்டம்:

  1. aUnconditionally unstable for all positive Courant numbers ν > 0 — அனைத்து நேர்மறை கூரண்ட் எண்களுக்கும் ν > 0 நிபந்தனையற்ற நிலையற்றது
  2. bSecond-order in time and space O(Δt², Δx²), conditionally stable for |ν| ≤ 1 — நேரம் மற்றும் இடம் இரண்டிலும் இரண்டாம் வரிசை O(Δt², Δx²), |ν| ≤ 1-க்கு நிபந்தனையுடன் நிலையானது✓ Correct
  3. cFourth-order in space O(Δx⁴) with implicit backward time-stepping — மறைமுக பின்னோக்கு நேர-படியுடன் இடத்தில் நான்காம் வரிசை O(Δx⁴)
  4. dFirst-order in time and space O(Δt, Δx), unconditionally stable for all ν — நேரம் மற்றும் இடத்தில் முதல் வரிசை O(Δt, Δx), அனைத்து ν-க்கும் நிபந்தனையற்ற நிலையானது

Explanation

Lax-Wendroff: derived from Taylor expansion u(x,t+dt)=u+dt*u_t+dt^2/2*u_{tt}+..., replacing u_t=-c*u_x and u_{tt}=c^2*u_{xx}. Second-order scheme. Stability: same CFL |nu|<=1. Disadvantage: numerical dispersion causes oscillations (Gibbs) near discontinuities. Anti-diffusive (dissipation has wrong sign for some Fourier modes) -- compare upwind which is purely diffusive.

லாக்ஸ்-வென்ட்ராஃப்: டெய்லர் விரிவாக்கம் u(x,t+dt) =u+dt*u_t+ dt^2 /2*u_{tt}+..., u_t=-c*u_x மற்றும் u_{tt}= c^2 *u_{xx} ஐ மாற்றுகிறது. இரண்டாவது வரிசை திட்டம். நிலைத்தன்மை: அதே CFL |nu|<=1. குறைபாடு: எண்ணியல் சிதறல் இடைநிறுத்தங்களுக்கு அருகில் அலைவுகளை (கிப்ஸ்) ஏற்படுத்துகிறது. ஆண்டி-டிஃப்யூசிவ் (சில ஃபோரியர் முறைகளுக்கு சிதறல் தவறான அறிகுறியைக் கொண்டுள்ளது) -- முற்றிலும் பரவலான மேல்காற்றை ஒப்பிடுக.

Q5Easy

The 5-point stencil for the 2D Laplace equation u_{xx}+u_{yy}=0 on a uniform grid (h=dx=dy): u_{i,j} = (u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1})/4. The resulting linear system is:

2D லாப்லேஸ் சமன்பாட்டிற்கான 5-புள்ளி ஸ்டென்சில் u_{xx}+u_{yy}=0 ஒரு சீரான கட்டத்தில் (h=dx=dy): u_{i,j} = (u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+1})/j/j. இதன் விளைவாக வரும் நேரியல் அமைப்பு:

  1. aIndefinite non-symmetric matrix with complex conjugate eigenvalues — கலப்பு இணை ஐகன் மதிப்புகள் கொண்ட நிச்சயமற்ற சமச்சீரற்ற அணி
  2. bStrictly diagonal matrix solvable in O(N) arithmetic operations — O(N) கணக்கீட்டு செயல்பாடுகளில் தீர்க்கக்கூடிய கண்டிப்பான மூலைவிட்ட அணி
  3. cDense, skew-symmetric matrix requiring pivoting LU decomposition — திசைதிருப்பும் LU சிதைவு தேவைப்படும் அடர்த்தியான, சாய்வு-சமச்சீர் அணி
  4. dSparse, symmetric positive definite with block tridiagonal structure — அரிதான, சமச்சீர் நேர்மறை திட்டவட்டமான தொகுதி முக்கோண அமைப்பு✓ Correct

Explanation

5-point Laplacian: A is a block tridiagonal SPD matrix with -4 on the diagonal and 1 on off-diagonals. Size: N^2 x N^2 (N interior points per dimension). Direct LU: O(N^6). Sparse direct: O(N^4). Iterative: Gauss-Seidel O(N^4) per step; SOR with optimal omega: O(N^2) iterations * O(N^2) per iteration = O(N^4). Multigrid: O(N^2) total -- optimal.

5-புள்ளி லாப்லாசியன்: A என்பது மூலைவிட்டத்தில் -4 மற்றும் ஆஃப்-மூலைவிட்டத்தில் 1 கொண்ட தொகுதி முக்கோண SPD அணி. அளவு: N^2 x N^2 (ஒரு பரிமாணத்திற்கு N உள்துறை புள்ளிகள்). நேரடி LU: O(N^6) . ஸ்பேஸ் டைரக்ட்: O(N^4) . மறு செய்கை: ஒரு படிக்கு காஸ்-சீடல் O(N^4); உகந்த ஒமேகாவுடன் SOR: O(N^2) மறு செய்கைகள் * ஒரு மறு செய்கைக்கு O(N^2) = O(N^4) . மல்டிகிரிட்: O(N^2) மொத்தம் -- உகந்தது.

20 more questions on Numerical Solution of PDEs

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing