First Order PDEs — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on First Order PDEs, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

The linear first order PDE a(x,y)*u_x + b(x,y)*u_y = c(x,y)*u + d(x,y). The method of characteristics gives the system:

நேரியல் முதல் வரிசை PDE a(x,y) *u_x + b(x,y) *u_y = c(x,y) *u + d(x,y). குணாதிசயங்களின் முறை அமைப்பு கொடுக்கிறது:

  1. adx/a = dy/b = du/(cu+d)✓ Correct
  2. bu = a*x + b*y
  3. cdu/dx = c
  4. da*dx + b*dy = 0

Explanation

Characteristic equations: dx/ds=a, dy/ds=b, du/ds=cu+d. Along characteristics (curves in (x,y) plane), the PDE reduces to a system of ODEs. The general solution: u is constant on characteristics (for homogeneous case).

சிறப்பியல்பு சமன்பாடுகள்: dx/ds=a, dy/ds=b, du/ds=cu+d. குணாதிசயங்களுடன் ((x,y) விமானத்தில் உள்ள வளைவுகள்), PDE ஆனது ODEகளின் அமைப்பாகக் குறைகிறது. பொதுவான தீர்வு: u குணாதிசயங்களில் நிலையானது (ஒரே மாதிரியான வழக்கில்).

Q2Easy

For u_x + u_y = 0 with u(x,0) = f(x), the method of characteristics gives:

u(x,0) = f(x) உடன் u_x + u_y = 0 க்கு, பண்புகளின் முறை வழங்குகிறது:

  1. au(x,y) = f(x+y)
  2. bu(x,y) = f(x)
  3. cu(x,y) = f(y)
  4. du(x,y) = f(x-y)✓ Correct

Explanation

Characteristics: dx/ds=1, dy/ds=1, du/ds=0. So x-x_0=s, y-y_0=s, u=const=f(x_0). Since y_0=0: x_0=x-y. So u(x,y)=f(x-y). The solution is constant along lines x-y=const.

பண்புகள்: dx/ds=1, dy/ds=1, du/ds=0. எனவே x-x_0=s, y-y_0=s, u=const= f(x)0 . y_0=0: x_0=x-y. எனவே f(x)1 = f(x)2 . தீர்வு x-y=const கோடுகளில் நிலையானது.

Q3Easy

The quasilinear first order PDE: a(x,y,u)*u_x + b(x,y,u)*u_y = c(x,y,u). The characteristic equations in the "extended phase space" (x,y,u) are:

குவாசிலினியர் முதல் ஆர்டர் PDE: a(x,y,u) *u_x + b(x,y,u) *u_y = c(x,y,u) . "நீட்டிக்கப்பட்ட கட்ட இடைவெளி" (x,y,u) இல் உள்ள சிறப்பியல்பு சமன்பாடுகள்:

  1. adx/a = dy/b only — dx/a = dy/b மட்டும்
  2. bdx/a = dy/b = du/c✓ Correct
  3. cdu = c*ds
  4. da*b*c = 0

Explanation

Lagrange-Charpit equations for quasilinear PDE: dx/ds=a(x,y,u), dy/ds=b(x,y,u), du/ds=c(x,y,u). In 3D (x,y,u)-space, these trace out "characteristic strips". Along these curves, the PDE is automatically satisfied.

குவாசிலினியர் PDEக்கான லாக்ரேஞ்ச்-சார்பிட் சமன்பாடுகள்: dx/ds= a(x,y,u), dy/ds= b(x,y,u), du/ds= c(x,y,u). 3D (x,y,u)-ஸ்பேஸில், இவை "பண்புப் பட்டைகளை" கண்டுபிடிக்கின்றன. இந்த வளைவுகளில், PDE தானாகவே திருப்தி அடையும்.

Q4Easy

The general solution of u_x = 0 is u=f(y). The general solution of the PDE u_x + 2*u_y = 0 is:

u_x = 0 இன் பொதுவான தீர்வு u= f(y) ஆகும். PDE u_x + 2*u_y = 0 இன் பொதுவான தீர்வு:

  1. au = f(2x-y)✓ Correct
  2. bu = f(x+2y)
  3. cu = f(x-2y)
  4. du = f(x)

Explanation

Characteristics: dx/1=dy/2. So 2x-y=const along each characteristic. General solution: u=f(2x-y) for arbitrary f. Check: u_x=2f', u_y=-f'. u_x+2u_y=2f'-2f'=0. ✓

பண்புகள்: dx/1=dy/2. எனவே ஒவ்வொரு குணாதிசயத்திலும் 2x-y=const. பொதுவான தீர்வு: தன்னிச்சையான fக்கு u= f(2x-y). சரிபார்க்கவும்: u_x=2f', u_y=-f'. u_x+2u_y=2f'-2f'=0. ✓

Q5Easy

The Eikonal equation |∇u|^2 = 1 (u_x^2 + u_y^2 = 1) describes wave fronts. Its characteristic curves are:

Eikonal சமன்பாடு |∇u|^2 = 1 (u_x^2 + u_y^2 = 1) அலை முனைகளை விவரிக்கிறது. அதன் சிறப்பியல்பு வளைவுகள்:

  1. aConcentric ellipses expanding along the coordinate axes — ஆய அச்சுக்களின் வழியே விரியும் பொதுமைய நீள்வட்டங்கள்
  2. bStraight lines (rays orthogonal to the propagating wave fronts) — நேர்கோடுகள் (அலை முனைகளுக்கு செங்குத்தான கதிர்கள்)✓ Correct
  3. cConfocal parabolas reflecting along the direction of propagation — பரவலின் திசையில் பிரதிபலிக்கும் பொதுக் குவிய பரவளையங்கள்
  4. dLogarithmic spirals winding outward from the origin — ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து வெளிப்புறமாக சுழலும் மடக்கைச் சுருள்கள்

Explanation

The eikonal equation is solved by u = distance from a surface S. The characteristics are the rays (gradient lines of u), which travel in straight lines in homogeneous media. In inhomogeneous media (|∇u|^2=n(x,y)^2), rays curve (Fermat principle).

ஈகோனல் சமன்பாடு u = ஒரு மேற்பரப்பில் இருந்து தூரம் S. குணாதிசயங்கள் கதிர்கள் (u இன் சாய்வு கோடுகள்), அவை ஒரே மாதிரியான ஊடகத்தில் நேர்கோட்டில் பயணிக்கின்றன. ஒத்திசைவற்ற ஊடகத்தில் (|∇u|^2= n(x,y) ^2), கதிர்கள் வளைவு (ஃபெர்மாட் கொள்கை).

20 more questions on First Order PDEs

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing