Q1Easy
The CDF F(x) = P(X<=x) of a random variable satisfies: F(-inf)=0, F(+inf)=1, F is right-continuous and non-decreasing. The probability P(a<X<=b) is:
சீரற்ற மாறியின் CDF F(x) = P(X<=x) திருப்தி அளிக்கிறது: F(-inf) =0, F(+inf) =1, F என்பது வலது-தொடர்ச்சியானது மற்றும் குறையாதது. நிகழ்தகவு P(a<X<=b):
- aF(b+) - F(a) — F(b+) - P(X<=x)0
- bF(b) - F(a)✓ Correct
- cF(b) - F(a-)
- dF(a) - F(b) — P(X<=x)1 - P(X<=x)2
Explanation
P(a<X<=b) = F(b) - F(a). This follows from P(X<=b) = P(X<=a) + P(a<X<=b). For continuous distributions, F is continuous so F(a) = F(a-) and P(X=a)=0. For discrete distributions, P(a<=X<=b) = F(b) - F(a-) = F(b) - F(a) + P(X=a). Note: F is right-continuous: F(x) = lim_{y->x+} F(y).
P(X<=x)3 = P(X<=x)4 - P(X<=x)5 . இது P(X<=x)6 = P(X<=x)7 + P(X<=x)8 இலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. தொடர்ச்சியான விநியோகங்களுக்கு, F என்பது தொடர்ச்சியாக இருக்கும், எனவே P(X<=x)9 = F(-inf)0 மற்றும் F(-inf)1 =0. தனித்தனி விநியோகங்களுக்கு, F(-inf)2 = F(-inf)3 - F(-inf)4 = F(-inf)5 - F(-inf)6 + F(-inf)7 . குறிப்பு: F என்பது வலது-தொடர்ச்சியானது: F(-inf)8 = lim_{y->x+} F(-inf)9 .
Q2Easy
For a continuous random variable X with pdf f(x), the condition on f(x) is:
pdf f(x) உடன் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X க்கு, f(x) இல் உள்ள நிபந்தனை:
- af(x) is always a probability — f(x) எப்போதும் ஒரு நிகழ்தகவு
- bf(x) <= 1 everywhere — f(x) <= 1 எல்லா இடங்களிலும்
- cf(x) >= 0 and f(x) <= 1 for all x — அனைத்து xக்கும் f(x) >= 0 மற்றும் f(x) <= 1
- df(x) >= 0 for all x and integral_{-inf}^{inf} f(x) dx = 1 — f(x) >= 0 அனைத்து x மற்றும் integral_{-inf}^{inf} f(x) dx = 1✓ Correct
Explanation
PDF conditions: (1) f(x) >= 0 (non-negativity); (2) integral f(x)dx = 1 (normalization). Note: f(x) CAN exceed 1 (it is not a probability, it is a density). Example: f(x)=2 on [0,0.5] is a valid pdf. P(X in A) = integral_A f(x)dx. For a point: P(X=x)=0 for continuous X.
PDF நிபந்தனைகள்: (1) f(x) >= 0 (எதிர்மறை அல்லாதது); (2) ஒருங்கிணைந்த f(x) dx = 1 (இயல்பாக்குதல்). குறிப்பு: f(x)0 1 ஐ விட அதிகமாக இருக்கலாம் (இது நிகழ்தகவு அல்ல, அடர்த்தி). எடுத்துக்காட்டு: [0, f(x)2 ] இல் f(x)1 =2 என்பது சரியான pdf ஆகும். f(x)3 = integral_A f(x)4 dx. ஒரு புள்ளிக்கு: தொடர்ச்சியான Xக்கு f(x)5 =0.
Q3Easy
A mixed distribution has both discrete and continuous components. A random variable X has CDF F(x) = 0 for x<0, F(0)=0.3, F(x)=0.3+0.7*(1-e^{-x}) for x>0. Then P(X=0) is:
ஒரு கலப்பு விநியோகம் தனித்துவமான மற்றும் தொடர்ச்சியான கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு சீரற்ற மாறி X ஆனது x<0க்கு CDF F(x) = 0, F(0) = 0.3 , F(x) = 0.3 + 0.7 *(1- e^{-x}) க்கு x>0. பிறகு P(X=0):
- aSymmetric about the mean: F(μ − x) = 1 − F(μ + x) for all x — சராசரியைப் பொறுத்து சமச்சீரானது: F(μ − x) = 1 − F(μ + x)
- bDifferentiable everywhere on ℝ with bounded first derivative — வரம்புடைய முதல் வகைக்கெழுவுடன் ℝ-ல் எங்கும் வகையிடத்தக்கது
- cNon-decreasing, right-continuous, with F(−∞) = 0 and F(+∞) = 1 — குறையாத, வலது-தொடர்ச்சியான, F(−∞) = 0 மற்றும் F(+∞) = 1 உடன்✓ Correct
- dStrictly increasing, continuous everywhere, with F(0) = 1/2 — கண்டிப்பான ஏறும், எங்கும் தொடர்ச்சியான, F(0) = 1/2 உடன்
Explanation
P(X=0) = F(0) - F(0-) = 0.3 - 0 = 0.3 (jump in CDF at 0). The remaining probability 0.7 is distributed continuously as Exponential. Such mixed distributions arise in: survival analysis (cure models), insurance (claims with point mass at 0 for no claim), queuing (idle probability + busy distribution).
F(0)0 = F(0)1 - F(0)2 = F(0)3 - 0 = F(0)4 (CDF இல் 0 இல் குதிக்கவும்). மீதமுள்ள நிகழ்தகவு F(0)5 ஆனது அதிவேகமாக தொடர்ச்சியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. இத்தகைய கலவையான விநியோகங்கள் எழுகின்றன: உயிர்வாழும் பகுப்பாய்வு (குணப்படுத்தப்பட்ட மாதிரிகள்), காப்பீடு (கோரிக்கை இல்லாத 0 இல் புள்ளி நிறை கொண்ட உரிமைகோரல்கள்), வரிசைப்படுத்துதல் (செயலற்ற நிகழ்தகவு + பிஸியான விநியோகம்).
Q4Easy
If X has pdf f_X(x) and Y=g(X) is a monotone differentiable transformation, then f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) * |d/dy g^{-1}(y)|. If X~Uniform(0,1) and Y=-log(X), the distribution of Y is:
X இல் pdf f_X(x) மற்றும் Y= g(X) என்பது மோனோடோன் வேறுபடுத்தக்கூடிய உருமாற்றம் என்றால், f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y) ) * |d/dy g^{-1}(y) |. X~ Uniform(0,1) மற்றும் Y=- log(X) எனில், Y இன் பரவல்:
- aUniform(0,1)
- bGamma(2,1) — g(X)0
- cNormal(0,1)
- dExponential(1)✓ Correct
Explanation
Y=-log(X): g^{-1}(y)=e^{-y}. f_Y(y) = f_X(e^{-y})*e^{-y} = 1*e^{-y} = e^{-y} for y>0. This is Exponential(1). This result is fundamental: if U~Uniform(0,1), then -log(U)~Exponential(1). Used in inverse transform sampling: to generate Exp(lambda), compute X=-log(U)/lambda.
Y=- g(X)1 : g(X)2 = g(X)3 . g(X)4 = g(X)5 * g(X)6 = 1* g(X)7 = g(X)8 க்கு y>0. இது g(X)9. இந்த முடிவு அடிப்படையானது: U~ f_Y(y)0 என்றால் - f_Y(y)1 ~ f_Y(y)2 . தலைகீழ் உருமாற்ற மாதிரியில் பயன்படுத்தப்படுகிறது: f_Y(y)3 ஐ உருவாக்க, X=- f_Y(y)4 /lambda ஐக் கணக்கிடவும்.
Q5Easy
The joint pdf f_{X,Y}(x,y) = 2e^{-(x+2y)} for x>0, y>0. The marginal pdf of X is:
x>0, y>0க்கான கூட்டு pdf f_{X,Y}(x,y) = 2 e^{-(x+2y)}. X இன் விளிம்பு pdf:
- a2e^{-2x} — 2 e^{-x}0
- be^{-x}
- ce^{-2x} — e^{-x}1
- d2e^{-x}/2 = e^{-x}... f_X(x) = integral_0^inf 2e^{-(x+2y)} dy = 2e^{-x} * (1/2) = e^{-x} — 2 e^{-x} /2 = e^{-x} ... f_X(x) = integral_0^inf 2 e^{-(x+2y)} dy = 2 e^{-x} * (1/2) = e^{-x}✓ Correct
Explanation
f_X(x) = integral_0^inf 2*e^{-x}*e^{-2y} dy = 2*e^{-x} * integral_0^inf e^{-2y} dy = 2*e^{-x} * (1/2) = e^{-x}. So X~Exponential(1). Similarly, f_Y(y) = integral_0^inf 2*e^{-x}*e^{-2y} dx = 2*e^{-2y}*1 = 2*e^{-2y}, so Y~Exponential(2). Note: f_{X,Y}=f_X*f_Y: X and Y are independent.
e^{-x}2 = e^{-x}3 2* e^{-x}4 * e^{-x}5 dy = 2* e^{-x}6 * e^{-x}7 e^{-x}8 dy = 2* e^{-x}9 * (e^{-x}0) = e^{-x}1 . எனவே X~ e^{-x}2 . இதேபோல், e^{-x}3 = e^{-x}4 2* e^{-x}5 * e^{-x}6 dx = 2* e^{-x}7 *1 = 2* e^{-x}8 , எனவே Y~ e^{-x}9 . குறிப்பு: f_{X,Y}=f_X*f_Y: X மற்றும் Y ஆகியவை சுயாதீனமானவை.
20 more questions on Random Variables and Distributions
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.