Q1Easy
The Fourier series of a function f(x) with period 2L is:
2L காலம் கொண்ட f(x) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர்:
- aa0/2 + sum_{n=1}^inf [a_n cos(n*pi*x/L) + b_n sin(n*pi*x/L)] — a0/2 + sum_{n=1}^inf [a_n cos(n*pi*x/L) + b_n sin(n*pi*x/L) ]✓ Correct
- ba0 + sum_{n=1}^inf a_n cos(n*pi*x)
- csum_{n=1}^inf b_n sin(n*x)
- dsum_{n=0}^inf a_n cos(n*x)
Explanation
Fourier series: f(x) = a0/2 + sum [a_n cos(npi x/L) + b_n sin(npi x/L)].
ஃபோரியர் தொடர்: f(x) = a0/2 + தொகை [a_n cos(npi x/L) + b_n sin(npi x/L) ].
Q2Easy
The Fourier coefficient a_n for a function f(x) on [-L, L] is:
[-L, L] இல் f(x) செயல்பாட்டிற்கான ஃபோரியர் குணகம் a_n:
- aa_n = (1/L) integral_{-L}^{L} f(x) cos(n*pi*x/L) dx✓ Correct
- ba_n = integral_{0}^{L} f(x) cos(n*pi*x/L) dx
- ca_n = (1/2L) integral_{-L}^{L} f(x) dx
- da_n = (2/L) integral_{0}^{L} f(x) sin(n*pi*x/L) dx
Explanation
Fourier coefficient: a_n = (1/L) integral_{-L}^L f(x) cos(n*pi*x/L) dx for n = 0,1,2,...
ஃபோரியர் குணகம்: a_n = (1/L) integral_{-L}^L f(x) cos(n*pi*x/L) dx for n = 0,1,2,...
Q3Easy
For an even function f(x) on [-pi, pi], the Fourier series contains:
[-pi, pi] இல் f(x) என்ற சீரான செயல்பாட்டிற்கு, ஃபோரியர் தொடரில் பின்வருவன அடங்கும்:
- aOnly the constant term — நிலையான சொல் மட்டுமே
- bOnly sine terms — சைன் விதிமுறைகள் மட்டுமே
- cOnly cosine terms (b_n = 0 for all n) — கொசைன் சொற்கள் மட்டுமே (அனைத்து nக்கும் b_n = 0)✓ Correct
- dBoth sine and cosine terms — சைன் மற்றும் கொசைன் சொற்கள் இரண்டும்
Explanation
Even function: f(-x) = f(x); b_n = integral of f(x)*sin(nx) over [-pi,pi] = 0 (odd integrand over symmetric interval).
சம செயல்பாடு: f(-x) = f(x) ; b_n = [-pi,pi] = 0க்கு மேல் f(x) * sin(nx) இன் ஒருங்கிணைப்பு (சமச்சீர் இடைவெளியில் ஒற்றைப்படை ஒருங்கிணைப்பு).
Q4Easy
Parseval's identity for Fourier series on [-pi, pi] states:
[-pi, pi] இல் ஃபோரியர் தொடருக்கான பார்செவலின் அடையாளம் கூறுகிறது:
- a(1/2pi) integral_{-pi}^{pi} |f(x)|^2 dx = a0^2/4 + sum_{n=1}^inf (a_n + b_n)^2
- b(1/pi) integral_{-pi}^{pi} |f(x)|^2 dx = a0^2/2 + sum_{n=1}^inf (a_n^2 + b_n^2)✓ Correct
- c(1/pi) integral_{-pi}^{pi} |f(x)|^2 dx = a0^2 + sum_{n=1}^inf (a_n^2 + b_n^2)
- d(1/pi) integral_{-pi}^{pi} |f(x)| dx = a0/2 + sum_{n=1}^inf (a_n + b_n)
Explanation
Parseval: (1/pi) integral |f|^2 dx = a0^2/2 + sum(a_n^2 + b_n^2); energy conservation in frequency domain.
பார்செவல்: (1/பை) ஒருங்கிணைந்த |f|^2 dx = a0^2 /2 + sum(a_n^2 + b_n^2) ; அதிர்வெண் களத்தில் ஆற்றல் சேமிப்பு.
Q5Easy
Dirichlet conditions for convergence of Fourier series require f to be:
ஃபோரியர் தொடரின் ஒருங்கிணைப்புக்கான டிரிச்லெட் நிபந்தனைகளுக்கு f இருக்க வேண்டும்:
- aInfinitely differentiable with vanishing Taylor remainder coefficients everywhere — எங்கும் பூஜ்ஜியமாகும் டெய்லர் மீதி கெழுக்களுடன் முடிவிலி வரை வகைப்படுத்தக்கூடியது
- bAnalytic across the entire complex plane with bounded exponential order — வரம்புடைய அடுக்கு வரிசையுடன் முழு சிக்கலெண் தளத்திலும் பகுப்பாய்வு செய்யக்கூடியது
- cMonotonically strictly increasing with compact support on positive integers — நேர்மறை முழு எண்களில் கச்சிதமான ஆதரவுடன் சீராக கண்டிப்பாக அதிகரிக்கும் சார்பு
- dPiecewise continuous with a finite number of maxima, minima, and discontinuities per period — ஒரு கால இடைவெளியில் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான பெருமங்கள், சிறுமங்கள் மற்றும் தொடர்ச்சியற்ற தன்மைகளுடன் பகுதிவாரியாக தொடர்ச்சியானது✓ Correct
Explanation
Dirichlet conditions: piecewise monotone, bounded, finitely many discontinuities; then Fourier series converges.
Dirichlet நிலைமைகள்: piecewise monotone, bounded, finitely many discontinuities; பின்னர் ஃபோரியர் தொடர் ஒன்றிணைகிறது.
20 more questions on Fourier Series
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 3 PG TRB subjects.