Q1Easy
An inner product ⟨·,·⟩ on a real vector space V must satisfy all of the following EXCEPT:
உண்மையான வெக்டார் ஸ்பேஸ் V இல் உள்ள உள் தயாரிப்பு ⟨·,·⟩ பின்வருவனவற்றைத் தவிர மற்ற அனைத்தையும் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:
- aSymmetry ⟨u,v⟩ = ⟨v,u⟩ — சமச்சீர் ⟨u,v⟩ = ⟨v,u⟩
- b⟨u,v⟩ = 0 implies u = 0 or v = 0 — ⟨u,v⟩ = 0 என்பது u = 0 அல்லது v = 0✓ Correct
- c⟨v,v⟩ > 0 for v ≠ 0 — v ≠ 0க்கு ⟨v,v⟩ > 0
- dLinearity in first argument — முதல் வாதத்தில் நேர்கோட்டுத்தன்மை
Explanation
The inner product axioms are: linearity (in first slot), symmetry (or conjugate symmetry), and positive definiteness (⟨v,v⟩ > 0 for v≠0). Two non-zero vectors can be orthogonal (⟨u,v⟩=0 without either being 0).
உள் தயாரிப்பு கோட்பாடுகள்: நேரியல் (முதல் ஸ்லாட்டில்), சமச்சீர் (அல்லது இணைந்த சமச்சீர்) மற்றும் நேர்மறை உறுதிப்பாடு (v≠0க்கு ⟨v,v⟩ > 0). இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் ஆர்த்தோகனலாக இருக்கலாம் (⟨u,v⟩=0 0 இல்லாமல்).
Q2Easy
The norm induced by an inner product is ‖v‖ =
உள் தயாரிப்பு மூலம் தூண்டப்படும் விதிமுறை ‖v‖ =
- a⟨v,v⟩²
- b√⟨v,v⟩✓ Correct
- c|⟨v,v⟩|
- d⟨v,v⟩
Explanation
‖v‖ = √⟨v,v⟩. This norm satisfies the parallelogram law ‖u+v‖² + ‖u−v‖² = 2(‖u‖² + ‖v‖²), which characterizes norms coming from inner products.
‖v‖ = √⟨v,v⟩. இந்த விதிமுறையானது இணையான வரைபட விதியான ‖u+v‖² + ‖u−v‖² = 2(‖u‖² + ‖v‖²) ஐ பூர்த்தி செய்கிறது, இது உள் தயாரிப்புகளிலிருந்து வரும் விதிமுறைகளை வகைப்படுத்துகிறது.
Q3Easy
The Cauchy-Schwarz inequality states: |⟨u,v⟩| ≤
Cauchy-Schwarz சமத்துவமின்மை கூறுகிறது: |⟨u,v⟩| ≤
- a‖u−v‖
- b‖u‖ + ‖v‖ — ‖u‖ +‖v‖
- c‖u‖² + ‖v‖² — ‖u‖² +‖v‖²
- d‖u‖ · ‖v‖ — ‖u‖ ·‖v‖✓ Correct
Explanation
Cauchy-Schwarz: |⟨u,v⟩| ≤ ‖u‖·‖v‖ with equality iff u and v are linearly dependent (one is a scalar multiple of the other).
Cauchy-Schwarz: |⟨u,v⟩| ≤ ‖u‖·‖v‖ சமத்துவத்துடன் இருந்தால் u மற்றும் v ஆகியவை நேரியல் சார்ந்து இருக்கும் (ஒன்று மற்றொன்றின் ஸ்கேலர் பெருக்கல்).
Q4Easy
Vectors u and v in an inner product space are orthogonal if:
உள் தயாரிப்பு இடத்தில் u மற்றும் v ஆகிய திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் என்றால்:
- a‖u‖ = ‖v‖ — ‖u‖ =‖v‖
- bu = v
- c⟨u,v⟩ = 0✓ Correct
- du + v = 0
Explanation
u ⊥ v means ⟨u,v⟩ = 0. In ℝ² with the standard dot product, this means u and v are perpendicular (90° angle between them).
u ⊥ v என்பது ⟨u,v⟩ = 0. நிலையான புள்ளித் தயாரிப்புடன் ℝ² இல், இதன் பொருள் u மற்றும் v செங்குத்தாக இருக்கும் (அவற்றுக்கு இடையே 90° கோணம்).
Q5Easy
The Gram-Schmidt process converts a linearly independent set into:
Gram-Schmidt செயல்முறையானது ஒரு நேரியல் சார்பற்ற தொகுப்பை மாற்றுகிறது:
- aA basis for a larger space — ஒரு பெரிய இடத்திற்கான அடிப்படை
- bAn orthonormal basis for the same subspace — அதே துணைவெளிக்கான ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படை✓ Correct
- cA linearly dependent set — ஒரு நேர்கோட்டு சார்ந்த தொகுப்பு
- dEigenvectors of some matrix — சில மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டர்கள்
Explanation
Gram-Schmidt orthogonalization takes a linearly independent set {v₁,...,vₖ} and produces an orthonormal set {u₁,...,uₖ} that spans the same subspace.
Gram-Schmidt ஆர்த்தோகனலைசேஷன் ஒரு நேரியல் சார்பற்ற தொகுப்பை {v₁,...,vₖ} எடுத்து, அதே துணைவெளியில் பரவியிருக்கும் ஆர்த்தோநார்மல் தொகுப்பை {u₁,...,uₖ} உருவாக்குகிறது.
20 more questions on Inner Product Spaces
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.