Q1Easy
A separable ODE has the form dy/dx = f(x)g(y). It is solved by:
பிரிக்கக்கூடிய ODE ஆனது dy/dx = f(x) g(y) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இது தீர்க்கப்படுகிறது:
- aApplying an integrating factor μ(x) = exp(∫ g(y) dy) — தொகையீட்டுக் காரணி μ(x) = exp(∫ g(y) dy)-ஐப் பயன்படுத்துதல்
- bSetting y = vx to convert into a homogeneous algebraic form — சமபடித்தான வடிவத்திற்கு மாற்ற y = vx என அமைத்தல்
- cSeparating variables: dy / g(y) = f(x) dx then integrating both sides — மாறிகளைப் பிரித்தல்: dy / g(y) = f(x) dx பின்னர் இருபுறமும் தொகையிடல்✓ Correct
- dDifferentiating both sides with respect to x twice — இருபுறமும் x-ஐப் பொறுத்து இருமுறை வகையிடுதல்
Explanation
Separate variables: dy/g(y) = f(x)dx. Integrate both sides: integraldy/g(y) = integralf(x)dx + C. This method works whenever the RHS factors as a product of a function of x and a function of y.
தனி மாறிகள்: dy/ g(y) = f(x) dx. இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைக்கவும்: integraldy/ g(y) = integralf(x) dx + C. RHS காரணிகள் x மற்றும் y இன் செயல்பாட்டின் விளைபொருளாக இருக்கும் போதெல்லாம் இந்த முறை செயல்படுகிறது.
Q2Easy
The standard form of a first-order linear ODE is dy/dx + P(x)y = Q(x). The integrating factor is:
முதல்-வரிசை நேரியல் ODE இன் நிலையான வடிவம் dy/dx + P(x) y = Q(x) ஆகும். ஒருங்கிணைக்கும் காரணி:
- ae^{integralP(x)dx}✓ Correct
- bQ(x)/P(x) — Q(x) / P(x)
- ce^{P(x)}
- d1/P(x) — 1/ ஹோல்டர்4
Explanation
Integrating factor mu(x) = e^{integralP(x)dx}. Multiplying: d/dx[mu*y] = mu*Q. Integrating: mu*y = integralmu*Q dx + C. Solution: y = (1/mu)integralmu*Q dx + C/mu.
ஒருங்கிணைக்கும் காரணி mu(x) = e^{integralP(x)dx} . பெருக்கல்: d/dx[mu*y] = mu*Q. ஒருங்கிணைத்தல்: mu*y = integralmu*Q dx + C. தீர்வு: y = (1/mu)integralmu*Q dx + C/mu.
Q3Easy
The ODE M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 is exact iff:
ODE M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 என்பது துல்லியமானது:
- aMN = 0
- bM = N — எம் = என்
- cpartialM/partialx = partialN/partialy
- dpartialM/partialy = partialN/partialx✓ Correct
Explanation
Exactness condition: partialM/partialy = partialN/partialx. If exact, there exists F(x,y) with partialF/partialx=M and partialF/partialy=N, and the solution is F(x,y)=C.
துல்லிய நிலை: partialM/partialy = partialN/partialx. சரியாக இருந்தால், partialF/partialx=M மற்றும் partialF/partialy=N உடன் F(x,y) உள்ளது, மேலும் தீர்வு F(x,y) =C ஆகும்.
Q4Easy
The Bernoulli equation dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n (n≠0,1) is linearized by substitution:
பெர்னௌல்லி சமன்பாடு dy/dx + P(x) y = Q(x) y^n (n≠0,1) மாற்றீடு மூலம் நேர்கோட்டானது:
- av = y^{1-n}✓ Correct
- bv = ln y
- cv = y^n
- dv = y^2
Explanation
Let v = y^{1-n}. Then dv/dx = (1-n)y^{-n}dy/dx. Divide Bernoulli equation by y^n: y^{-n}dy/dx + P*y^{1-n} = Q. Substituting: (1/(1-n))dv/dx + Pv = Q. This is a linear equation in v.
v = y^{1-n} என்பதை விடுங்கள். பின்னர் dv/dx = (1-n) y^{-n}dy /dx. பெர்னோலி சமன்பாட்டை y^n ஆல் வகுக்கவும்: y^{-n}dy /dx + P* Q(x)0 = Q. மாற்றீடு: (1/(1-n))dv/dx + Pv = Q. இது v இல் உள்ள நேரியல் சமன்பாடு.
Q5Easy
A homogeneous ODE dy/dx = F(y/x) is solved by the substitution:
ஒரே மாதிரியான ODE dy/dx = F(y/x) மாற்றீடு மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது:
- ay = e^{vx}
- by = x + v
- cy = vx (then v + x*dv/dx = F(v)) — y = vx (பின் v + x*dv/dx = F(v) )✓ Correct
- dx = e^t
Explanation
Substitution y=vx: dy/dx = v + x*dv/dx. The equation v + x*dv/dx = F(v) separates: x*dv/dx = F(v)-v, i.e., dv/(F(v)-v) = dx/x. Integrate both sides.
மாற்று y=vx: dy/dx = v + x*dv/dx. v + x*dv/dx = F(v) என்ற சமன்பாடு பிரிக்கிறது: x*dv/dx = F(v) -v, அதாவது, dv/(F(v) -v) = dx/x. இருபுறமும் ஒருங்கிணைக்கவும்.
20 more questions on First Order ODEs
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.