Banach Spaces and Normed Linear Spaces — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Banach Spaces and Normed Linear Spaces, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

A normed linear space (X, ||.||) is called a Banach space if:

ஒரு நெறிப்படுத்தப்பட்ட நேரியல் இடைவெளி (X, ||.||) பனாச் ஸ்பேஸ் என அழைக்கப்படுகிறது:

  1. aThe norm satisfies parallelogram law for all vector pairs identically — நெறிமுறையானது அனைத்து வெக்டர் ஜோடிகளுக்கும் இணைகர விதியை முற்றொருமையாக பூர்த்தி செய்கிறது
  2. bEvery closed bounded subset in X is compact in norm topology — X-ல் உள்ள ஒவ்வொரு மூடிய வரம்புடைய உட்கணமும் நெறிமுறை இடவியலில் கச்சிதமானது
  3. cThe algebraic dimension of vector space X is strictly finite — வெக்டர் வெளி X-ன் இயற்கணித பரிமாணம் கண்டிப்பாக முடிவுற்றது
  4. dX is complete in the metric induced by its norm d(x,y) = ||x - y|| — X ஆனது அதன் நெறிமுறையால் தூண்டப்பட்ட தொலைவு d(x,y) = ||x - y||-ல் முழுமையானது✓ Correct

Explanation

A Banach space is precisely a complete normed linear space. Completeness is with respect to the metric induced by the norm.

ஒரு பனாச் ஸ்பேஸ் துல்லியமாக ஒரு முழுமையான நெறிப்படுத்தப்பட்ட நேரியல் வெளி. முழுமை என்பது விதிமுறையால் தூண்டப்பட்ட அளவீட்டைப் பொறுத்ததாகும்.

Q2Easy

Which of the following is NOT one of the defining axioms of a norm on a vector space X over the field K?

பின்வருவனவற்றில் எது K புலத்தின் மீது ஒரு திசையன் ஸ்பேஸ் X இல் ஒரு நெறியை வரையறுக்கும் கோட்பாடுகளில் ஒன்றல்ல?

  1. a||cx|| = |c| ||x|| for every scalar c — ||cx|| = |c| ||x|| ஒவ்வொரு அளவுகோலுக்கும் c
  2. b||xy|| = ||x|| ||y|| for all x, y in X — ||xy|| = ||x|| ||y|| அனைத்து x க்கும், X இல் y✓ Correct
  3. c||x|| >= 0, with ||x|| = 0 if and only if x = 0 — ||x|| >= 0, உடன் ||x|| = 0 என்றால் மற்றும் x = 0 என்றால் மட்டும்
  4. d||x + y|| <= ||x|| + ||y||

Explanation

Multiplicativity is not a norm axiom -- a general vector space has no product. The three axioms are positive definiteness, absolute homogeneity and the triangle inequality. Multiplicativity appears only in normed algebras.

பன்முகத்தன்மை என்பது ஒரு சாதாரண கோட்பாடு அல்ல -- ஒரு பொது வெக்டார் ஸ்பேஸ் தயாரிப்பு இல்லை. மூன்று கோட்பாடுகள் நேர்மறை உறுதிப்பாடு, முழுமையான ஒருமைப்பாடு மற்றும் முக்கோண சமத்துவமின்மை. நெறிப்படுத்தப்பட்ட இயற்கணிதங்களில் மட்டுமே பெருக்கத்தன்மை தோன்றும்.

Q3Easy

For 1 <= p < infinity, the space l^p of scalar sequences with sum |x_n|^p finite, under ||x||_p = (sum |x_n|^p)^{1/p}, is:

1 <= p < முடிவிலிக்கு, |x_n|^p finite உடன் ஸ்கேலார் வரிசைகளின் இடைவெளி l^p, ||x||_p = (தொகை |x_n|^p)^{1/p}, இது:

  1. aA Banach space for every p in [1, infinity) — [1, முடிவிலி) இல் உள்ள ஒவ்வொரு p க்கும் ஒரு பனாச் இடம்✓ Correct
  2. bA Banach space only for p = 2 — ப = 2க்கு மட்டும் ஒரு பனாச் ஸ்பேஸ்
  3. cNever complete — ஒருபோதும் முழுமையடையாது
  4. dComplete only for p an even integer — p ஒரு இரட்டை முழு எண்ணுக்கு மட்டும் முடிக்கவும்

Explanation

The Riesz-Fischer theorem gives completeness of l^p for all 1 <= p <= infinity. Only p = 2 is additionally a Hilbert space.

Riesz-Fischer தேற்றம் அனைத்து 1 <= p <= முடிவிலிக்கும் l^p இன் முழுமையை அளிக்கிறது. ப = 2 மட்டுமே கூடுதலாக ஹில்பர்ட் ஸ்பேஸ் ஆகும்.

Q4Easy

The space C[a,b] of continuous scalar functions on [a,b] with the supremum norm ||f|| = sup |f(t)| is:

உச்ச நெறிமுறையுடன் [a,b] இல் தொடர்ச்சியான அளவிடல் செயல்பாடுகளின் இடைவெளி C[a,b] ||f|| = sup | f(t) | என்பது:

  1. aAn incomplete normed space — முழுமையற்ற நெறிப்படுத்தப்பட்ட இடம்
  2. bNot a normed space — நெறிப்படுத்தப்பட்ட இடம் அல்ல
  3. cA Hilbert space — ஒரு ஹில்பர்ட் இடம்
  4. dA Banach space — ஒரு பனாச் இடம்✓ Correct

Explanation

Uniform convergence preserves continuity, so a uniformly Cauchy sequence of continuous functions converges to a continuous function. Hence C[a,b] with the sup norm is complete.

சீரான ஒருங்கிணைப்பு தொடர்ச்சியைப் பாதுகாக்கிறது, எனவே தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் சீரான Cauchy வரிசை தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கு ஒன்றிணைகிறது. எனவே sup நெறியுடன் C[a,b] நிறைவுற்றது.

Q5Easy

C[0,1] equipped instead with the integral norm ||f||_1 = integral_0^1 |f(t)| dt is:

சி[0,1] அதற்குப் பதிலாக ஒருங்கிணைந்த விதிமுறையுடன் பொருத்தப்பட்டுள்ளது ||f||_1 = integral_0^1 | f(t) | dt என்பது:

  1. aA Banach space — ஒரு பனாச் இடம்
  2. bNot a normed space — நெறிப்படுத்தப்பட்ட இடம் அல்ல
  3. cA normed space that is NOT complete — முழுமையடையாத நெறிப்படுத்தப்பட்ட இடம்✓ Correct
  4. dA Hilbert space — ஒரு ஹில்பர்ட் இடம்

Explanation

One can build a sequence of continuous functions that is Cauchy in the L^1 norm but converges to a discontinuous step function, which lies outside C[0,1]. Its completion is L^1[0,1].

ஒருவர் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் வரிசையை உருவாக்கலாம், அது L^1 நெறிமுறையில் Cauchy ஆகும், ஆனால் இது C[0,1]க்கு வெளியே இருக்கும் ஒரு இடைவிடாத படி செயல்பாட்டிற்கு ஒன்றிணைகிறது. அதன் நிறைவு L^1 [0,1].

20 more questions on Banach Spaces and Normed Linear Spaces

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing