Q1Easy
For a complex number z = x + iy, the modulus |z| and argument arg(z) satisfy:
ஒரு கலப்பு எண்ணுக்கு z = x + iy, மாடுலஸ் |z| மற்றும் வாதம் arg(z) திருப்தி அளிக்கிறது:
- az = |z| * (sin(arg z) + i*cos(arg z)) = |z| * e^{-i*arg(z)}
- bz = |z| * (cos(arg z) + i*sin(arg z)) = |z| * e^{i*arg(z)}✓ Correct
- cz = |z|^2 * (cos(arg z) - i*sin(arg z))
- dz = (1/|z|) * (cos(arg z) + i*sin(arg z))
Explanation
Polar form: z = r e^{i theta} where r=|z|=sqrt(x^2+y^2) and theta=arg(z)=arctan(y/x).
துருவ வடிவம்: z = r e^{i தீட்டா} இதில் r=|z|= sqrt(x^2+y^2) மற்றும் theta= cos(arg z)0 = cos(arg z)1 .
Q2Easy
The Cauchy-Riemann equations for f(z) = u(x,y) + iv(x,y) to be analytic are:
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) க்கான Cauchy-Riemann சமன்பாடுகள் பகுப்பாய்வு செய்ய வேண்டும்:
- adu/dx = dv/dy and du/dy = -dv/dx — du/dx = dv/dy மற்றும் du/dy = -dv/dx✓ Correct
- bdu/dx = du/dy and dv/dx = dv/dy — du/dx = du/dy மற்றும் dv/dx = dv/dy
- cdu/dx + dv/dy = 0
- du = v and du/dx = dv/dy — u = v மற்றும் du/dx = dv/dy
Explanation
C-R equations: u_x = v_y and u_y = -v_x; necessary (and sufficient with continuity) for analyticity.
C-R சமன்பாடுகள்: u_x = v_y மற்றும் u_y = -v_x; பகுப்பாய்விற்கு தேவையான (மற்றும் தொடர்ச்சியுடன் போதுமானது).
Q3Easy
An analytic function f(z) that is analytic on the entire complex plane is called:
f(z) என்ற பகுப்பாய்வு செயல்பாடு முழு சிக்கலான விமானத்திலும் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது:
- aConformal automorphism (bijective univalent mapping preserving metric areas) — இணக்கமான தன்னியக்கவியல் (அளவீட்டு பகுதிகளைப் பாதுகாக்கும் இருவழி ஒருமை வரைபடம்)
- bMeromorphic function (holomorphic everywhere except isolated polar singularities) — மெரோமார்பிக் சார்பு (தனிமைப்படுத்தப்பட்ட துருவங்களைத் தவிர எங்கும் ஹோலோமார்பிக்)
- cEntire function (holomorphic on the entire complex plane C, e.g. e^z, polynomials) — முழுமையான சார்பு (முழு சிக்கலெண் தளம் C முழுவதிலும் ஹோலோமார்பிக், எ.கா. e^z, பல்லுறுப்புக் கோவைகள்)✓ Correct
- dHarmonic conjugate function (satisfying real Cauchy-Riemann symmetry only) — இசைவான இணைச் சார்பு (மெய் கோஷி-ரீமான் சமச்சீர்மையை மட்டுமே பூர்த்தி செய்கிறது)
Explanation
Entire function: analytic on all of C; examples: e^z, sin z, cos z, polynomials.
முழு செயல்பாடு: அனைத்து C இல் பகுப்பாய்வு; எடுத்துக்காட்டுகள்: e^z , sin z, cos z, பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.
Q4Easy
Cauchy's theorem states: if f(z) is analytic inside and on a simple closed contour C, then:
Cauchy இன் தேற்றம் கூறுகிறது: f(z) ஆனது பகுப்பாய்விற்கு உள்ளேயும் ஒரு எளிய மூடிய விளிம்பு C யிலும் இருந்தால், பின்:
- aintegral_C f(z) dz = 0✓ Correct
- bintegral_C f(z) dz = f'(0)
- cintegral_C f(z) dz = 2*pi*i
- dintegral_C f(z) dz = f(0)
Explanation
Cauchy theorem: integral_C f dz = 0 for analytic f; fundamental theorem of complex integration.
Cauchy தேற்றம்: integral_C f dz = 0 பகுப்பாய்வு f; சிக்கலான ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை தேற்றம்.
Q5Easy
Cauchy's integral formula states: for analytic f inside C and point a inside C:
Cauchy இன் ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம் கூறுகிறது: பகுப்பாய்வு f க்கு உள்ளே C மற்றும் புள்ளி a இன் உள்ளே:
- af(a) = f'(a)/(2*pi*i)
- bf(a) = (1/pi) integral_C f(z) dz
- cf(a) = (1/2*pi*i) integral_C f(z)/(z-a) dz — f(a) = ( 1/2 *pi*i) integral_C f(z) /(z-a) dz✓ Correct
- df(a) = integral_C f(z) dz
Explanation
Cauchy integral formula: f(a) = (1/2pi i) integral_C f(z)/(z-a) dz; values of analytic function determined by boundary.
Cauchy ஒருங்கிணைந்த சூத்திரம்: f(a) = (1/2pi i) integral_C f(z) /(z-a) dz; எல்லையால் தீர்மானிக்கப்படும் பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் மதிப்புகள்.
20 more questions on Complex Variable Theory
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.