Q1Easy
A matrix A is diagonalizable over ℝ if:
ஒரு அணி A ஆனது ℝக்கு மேல் மூலைவிட்டமானதாக இருந்தால்:
- aA has n linearly independent eigenvectors — A ஆனது n நேரியல் சார்பற்ற ஈஜென்வெக்டர்களைக் கொண்டுள்ளது✓ Correct
- bdet(A) ≠ 0
- cAll entries of A are positive — A இன் அனைத்து உள்ளீடுகளும் நேர்மறை
- dA is symmetric and has positive eigenvalues — A என்பது சமச்சீர் மற்றும் நேர்மறை ஈஜென் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது
Explanation
A is diagonalizable iff it has n linearly independent eigenvectors. Then A = PDP⁻¹ where P has eigenvectors as columns and D is diagonal with eigenvalues on diagonal.
A ஆனது n நேரியல் சார்பற்ற ஈஜென்வெக்டர்களைக் கொண்டிருந்தால் மூலைவிட்டமாக்கக்கூடியது. பின்னர் A = PDP⁻¹ அங்கு P ஆனது ஈஜென்வெக்டர்களை நெடுவரிசைகளாகக் கொண்டுள்ளது மற்றும் D என்பது மூலைவிட்டத்தில் ஈஜென் மதிப்புகளுடன் மூலைவிட்டமானது.
Q2Easy
To diagonalize A = PDP⁻¹, the columns of P are:
A = PDP⁻¹ ஐ குறுக்காக மாற்ற, P இன் நெடுவரிசைகள்:
- aThe diagonal entries of A — A இன் மூலைவிட்ட உள்ளீடுகள்
- bThe eigenvalues of A — A இன் சம மதிப்புகள்
- cEigenvectors of A — ஏவின் ஈஜென்வெக்டர்கள்✓ Correct
- dThe rows of A — A இன் வரிசைகள்
Explanation
P consists of linearly independent eigenvectors of A as columns: P = [v₁|v₂|...|vₙ]. Then D = diag(λ₁,...,λₙ) where Avᵢ = λᵢvᵢ.
P ஆனது A இன் நேரியல் சார்பற்ற ஈஜென்வெக்டர்களை நெடுவரிசைகளாகக் கொண்டுள்ளது: P = [v₁|v₂|...|vₙ]. பிறகு D = diag(λ₁,...,λₙ) என்பது Avᵢ = λᵢvᵢ.
Q3Easy
If an n×n matrix has n distinct real eigenvalues, then it is:
ஒரு n×n மேட்ரிக்ஸில் n தனித்துவமான உண்மையான ஈஜென் மதிப்புகள் இருந்தால், அது:
- aSymmetric — சமச்சீர்
- bNot diagonalizable — குறுக்காக முடியாது
- cDiagonalizable over ℝ — ℝக்கு மேல் மூலைவிட்டமானது✓ Correct
- dOrthogonally diagonalizable — ஆர்த்தோகனலாக மூலைவிட்டமானது
Explanation
Eigenvectors for distinct eigenvalues are linearly independent. So n distinct eigenvalues guarantee n linearly independent eigenvectors, hence diagonalizability.
தனித்துவமான ஈஜென் மதிப்புகளுக்கான ஈஜென்வெக்டர்கள் நேரியல் சார்பற்றவை. எனவே n தனித்துவமான ஈஜென் மதிப்புகள் n நேரியல் சார்பற்ற ஈஜென்வெக்டர்களுக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கின்றன, எனவே மூலைவிட்டமாக்கல்.
Q4Easy
If A = PDP⁻¹, then Aᵏ equals:
A = PDP⁻¹ எனில், Aᵏ சமம்:
- aD(PA)ᵏ — D(PA) ᵏ
- bPᵏDᵏ(P⁻¹)ᵏ
- cPDᵏP⁻¹✓ Correct
- dkPDP⁻¹
Explanation
Aᵏ = (PDP⁻¹)ᵏ = PD(P⁻¹P)D...DP⁻¹ = PDᵏP⁻¹. Since D is diagonal, Dᵏ = diag(λ₁ᵏ,...,λₙᵏ) is trivial to compute.
Aᵏ = (PDP⁻¹)ᵏ = PD(P⁻¹P) D...DP⁻¹ = PDᵏP⁻¹. D என்பது மூலைவிட்டமாக இருப்பதால், Dᵏ = diag(λ₁ᵏ,...,λₙᵏ) என்பது கணக்கிடுவதற்கு அற்பமானது.
Q5Easy
A real matrix is orthogonally diagonalizable (A = PDP⁻¹ with P orthogonal) if and only if:
ஒரு உண்மையான அணி ஆர்த்தோகனலாக மூலைவிட்டமானது (A = PDP⁻¹ P ஆர்த்தோகனலுடன்) இருந்தால் மட்டுமே:
- aA is invertible — A என்பது தலைகீழானது
- bA has positive eigenvalues — A நேர்மறை ஈஜென் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது
- cA is upper triangular — A மேல் முக்கோணமானது
- dA is a real symmetric matrix — A என்பது ஒரு உண்மையான சமச்சீர் அணி✓ Correct
Explanation
The Spectral Theorem: A real matrix is orthogonally diagonalizable iff A is symmetric (Aᵀ = A). Then eigenvectors for distinct eigenvalues are orthogonal.
ஸ்பெக்ட்ரல் தேற்றம்: ஒரு உண்மையான அணி ஆர்த்தோகனலாக மூலைவிட்டமானது IF A சமச்சீர் (Aᵀ = A). பின்னர் தனித்துவமான ஈஜென் மதிப்புகளுக்கான ஈஜென்வெக்டர்கள் ஆர்த்தோகனல் ஆகும்.
20 more questions on Diagonalization
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.