Q1Easy
The series Σ 1/n (harmonic series):
தொடர் Σ 1/n (ஹார்மோனிக் தொடர்):
- aConverges to π/6 — π/6 க்கு இணைகிறது
- bConverges to ln 2 — ln 2 க்கு இணைகிறது
- cConverges to 1 — 1 ஆக இணைகிறது
- dDiverges — வேறுபடுகிறது✓ Correct
Explanation
The harmonic series Σ 1/n diverges (proven by Oresme ~1350). Group terms: (1/2) + (1/3+1/4) + ... each group sums to ≥ 1/2, giving arbitrarily large partial sums.
ஹார்மோனிக் தொடர் Σ 1/n வேறுபடுகிறது (Oresme ~1350 ஆல் நிரூபிக்கப்பட்டது). குழு விதிமுறைகள்: ( 1/2 ) + ( 1/3 + 1/4 ) + ... ஒவ்வொரு குழுவும் ≥ 1/2 க்கு கூட்டுத்தொகை, தன்னிச்சையாக பெரிய பகுதித் தொகைகளைக் கொடுக்கும்.
Q2Easy
The geometric series Σ rⁿ (n=0 to ∞) converges to 1/(1−r) when:
வடிவியல் தொடர் Σ rⁿ (n=0 to ∞) எப்போது 1/(1−r) ஆக மாறுகிறது:
- a|r| < 1 — |ஆர்| < 1✓ Correct
- br = 1/2 only — r = 1/2 மட்டும்
- cr > 0 — ஆர் > 0
- dr < 1 — ஆர் <1
Explanation
Σ_{n=0}^∞ rⁿ = 1/(1−r) for |r| < 1. For |r| ≥ 1 the series diverges (terms don't → 0).
Σ_{n=0}^∞ rⁿ = 1/(1−r) க்கு |r| < 1. |r|க்கு ≥ 1 தொடர் வேறுபடுகிறது (விதிமுறைகள் இல்லை → 0).
Q3Easy
The p-series Σ 1/nᵖ converges if and only if:
p-series Σ 1/nᵖ பின்வருவனவற்றைச் செய்தால் மட்டுமே ஒன்றிணைகிறது:
- ap ≥ 1 — ப ≥ 1
- bp < 1 — ப < 1
- cp > 0 — ப > 0
- dp > 1 — ப > 1✓ Correct
Explanation
The p-series Σ 1/nᵖ converges for p > 1 and diverges for p ≤ 1. Special case p=2: Σ 1/n² = π²/6 (Basel problem, solved by Euler 1734).
p-தொடர் Σ 1/nᵖ p > 1 க்காக ஒன்றிணைகிறது மற்றும் p ≤ 1 க்கு மாறுகிறது. சிறப்பு வழக்கு p=2: Σ 1/n² = π²/6 (பேசல் பிரச்சனை, ஆய்லர் 1734 மூலம் தீர்க்கப்பட்டது).
Q4Easy
The Alternating Series Test (Leibniz): Σ(−1)ⁿbₙ converges if:
மாற்றுத் தொடர் சோதனை (லீப்னிஸ்): Σ(−1)ⁿbₙ பின்வருவனவற்றில் ஒன்றிணைகிறது:
- abₙ → 0 and bₙ is increasing — bₙ → 0 மற்றும் bₙ அதிகரித்து வருகிறது
- bbₙ > 1 for all n — அனைத்து nக்கும் bₙ > 1
- cbₙ → ∞
- dbₙ → 0 and bₙ is decreasing (monotone) — bₙ → 0 மற்றும் bₙ குறைகிறது (மோனோடோன்)✓ Correct
Explanation
Leibniz test: if (bₙ) is decreasing (bₙ₊₁ ≤ bₙ), positive, and bₙ → 0, then Σ(−1)ⁿbₙ converges. The error |S−Sₙ| ≤ bₙ₊₁. Example: Σ(−1)ⁿ⁺¹/n = ln 2.
லீப்னிஸ் சோதனை: (bₙ) குறைகிறது என்றால் (bₙ₊₁ ≤ bₙ), நேர்மறை, மற்றும் bₙ → 0, பின்னர் Σ(−1)ⁿbₙ ஒன்றிணைகிறது. பிழை |S−Sₙ| ≤ bₙ₊₁. எடுத்துக்காட்டு: Σ(−1)ⁿ⁺¹/n = ln 2.
Q5Easy
A series Σaₙ is absolutely convergent if:
ஒரு தொடர் Σaₙ முற்றிலும் ஒன்றிணைந்தால்:
- aΣaₙ converges conditionally — Σaₙ நிபந்தனையுடன் ஒன்றிணைகிறது
- bΣ|aₙ| converges — Σ|aₙ| ஒன்றிணைகிறது✓ Correct
- cΣaₙ converges to 0 — Σaₙ 0 ஆக ஒன்றிணைகிறது
- daₙ → 0
Explanation
Absolute convergence: Σ|aₙ| < ∞. Absolute convergence implies convergence (but not vice versa). The series Σ(−1)ⁿ/n converges conditionally but not absolutely.
முழுமையான ஒருங்கிணைப்பு: Σ|aₙ| <∞. முழுமையான ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறது (ஆனால் நேர்மாறாக இல்லை). தொடர் Σ(−1)ⁿ/n நிபந்தனையுடன் ஒன்றிணைகிறது ஆனால் முற்றிலும் இல்லை.
20 more questions on Series
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.