Q1Easy
The Weak Law of Large Numbers states that for i.i.d. X_i with mean mu, the sample mean X_bar_n:
பெரிய எண்களின் பலவீனமான சட்டம் i.i.d. X_i உடன் சராசரி mu, மாதிரி சராசரி X_bar_n:
- aConverges in mean square to 0 — சராசரி சதுரத்தில் 0 ஆக ஒன்றிணைகிறது
- bConverges almost surely to mu — ஏறக்குறைய நிச்சயமாக மு உடன் ஒன்றிணைகிறது
- cConverges in distribution to mu — mu க்கு விநியோகத்தில் ஒன்றிணைகிறது
- dConverges in probability to mu — mu ஆக நிகழ்தகவில் ஒன்றிணைகிறது✓ Correct
Explanation
WLLN: X_bar_n converges in probability to mu.
WLLN: X_bar_n நிகழ்தகவில் mu ஆக ஒன்றிணைகிறது.
Q2Easy
The Strong Law of Large Numbers guarantees:
பெரிய எண்களின் வலுவான சட்டம் உத்தரவாதம் அளிக்கிறது:
- aMean square convergence only — சராசரி சதுர ஒருங்கிணைப்பு மட்டுமே
- bConvergence in probability only — நிகழ்தகவு மட்டுமே
- cConvergence in distribution only — விநியோகத்தில் மட்டுமே குவிதல்
- dAlmost sure convergence of sample mean to population mean — மக்கள்தொகை சராசரிக்கு மாதிரி சராசரியின் ஒருங்கிணைப்பு கிட்டத்தட்ட உறுதி✓ Correct
Explanation
SLLN: X_bar_n -> mu almost surely (with probability 1).
SLLN: X_bar_n -> mu கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக (நிகழ்தகவு 1 உடன்).
Q3Easy
The Central Limit Theorem states that for i.i.d. X_i with mean mu and variance sigma^2, sqrt(n)(X_bar_n - mu)/sigma converges in distribution to:
மத்திய வரம்பு தேற்றம் i.i.d. X_i, சராசரி mu மற்றும் மாறுபாடு sigma^2 , sqrt(n) (X_bar_n - mu)/sigma ஆகியவை விநியோகத்தில் ஒன்றிணைகிறது:
- aP(|X − μ| ≥ k σ) ≤ exp(−k²/2) (sub-Gaussian Chernoff tail bound) — சப்-காசியன் செர்னாஃப் வால் வரம்புடன் P(|X − μ| ≥ k σ) ≤ exp(−k²/2)
- bP(|X − μ| ≥ k σ) ≤ 1 / k² (Chebyshev's inequality for any distribution with finite variance) — P(|X − μ| ≥ k σ) ≤ 1 / k² (முடிவுறு மாறுபாடு கொண்ட பரவல்களுக்கான செபிஷேவ் சமனின்மை)✓ Correct
- cP(|X − μ| ≥ k σ) ≤ 1 / k with linear reciprocal bound — நேரியல் தலைகீழ் வரம்புடன் P(|X − μ| ≥ k σ) ≤ 1 / k
- dP(|X − μ| ≥ k σ) = 1 − 1/k² as an exact equality — துல்லியமான சமன்பாடாக P(|X − μ| ≥ k σ) = 1 − 1/k²
Explanation
CLT: standardized sample mean converges in distribution to standard normal.
CLT: தரப்படுத்தப்பட்ட மாதிரி சராசரி நிலையான இயல்புக்கு விநியோகத்தில் ஒன்றிணைகிறது.
Q4Easy
The CLT requires which condition on the random variables?
சீரற்ற மாறிகளில் CLTக்கு எந்த நிபந்தனை தேவைப்படுகிறது?
- aExponential moments finite — அதிவேக தருணங்கள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன
- bFinite mean and finite variance — வரையறுக்கப்பட்ட சராசரி மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட மாறுபாடு✓ Correct
- cAll moments finite — எல்லா தருணங்களும் வரையறுக்கப்பட்டவை
- dFinite mean only — வரையறுக்கப்பட்ட பொருள் மட்டுமே
Explanation
Classical CLT requires i.i.d. with finite mean and variance (second moment).
கிளாசிக்கல் CLTக்கு i.i.d தேவை. வரையறுக்கப்பட்ட சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டுடன் (இரண்டாவது கணம்).
Q5Easy
Convergence in probability implies:
நிகழ்தகவில் ஒன்றிணைவது குறிக்கிறது:
- aConvergence in distribution (convergence in law) — பரவலில் குவிதல் (விதியில் குவிதல்)✓ Correct
- bConvergence in total variation norm — மொத்த மாறுபாடு நார்மில் குவிதல்
- cMean square convergence in L² norm — L² நார்மில் சராசரி இருபடி குவிதல்
- dAlmost sure convergence outside null sets — பூஜ்ஜிய கணங்களுக்கு வெளியே கிட்டத்தட்ட உறுதியான குவிதல்
Explanation
Convergence in probability is weaker than a.s. convergence but implies convergence in distribution.
நிகழ்தகவில் ஒன்றிணைதல் a.s ஐ விட பலவீனமானது. ஒன்றிணைதல் ஆனால் விநியோகத்தில் ஒன்றிணைவதைக் குறிக்கிறது.
20 more questions on Limit Theorems
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 3 PG TRB subjects.