Q1Easy
The Taylor series of f at z=0 (Maclaurin series) converges in the disk |z| < R where R is:
f இன் டெய்லர் தொடர் z=0 (மெக்லாரின் தொடர்) வட்டில் |z| < R எங்கே R உள்ளது:
- aThe distance to the nearest singularity — அருகிலுள்ள ஒருமைப்பாட்டிற்கான தூரம்✓ Correct
- bAlways equal to 1 — எப்போதும் 1க்கு சமம்
- cInfinite if f is bounded — f வரம்புக்குட்பட்டால் எல்லையற்றது
- dDetermined by the first nonzero term — முதல் பூஜ்ஜியமற்ற காலத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது
Explanation
The radius of convergence R equals the distance from z=0 to the nearest singularity. If f is entire (no singularities), R=infinity. Formula: R=1/limsup|a_n|^{1/n} (Cauchy-Hadamard).
குவிதல் R இன் ஆரம் z=0 இலிருந்து அருகிலுள்ள ஒருமைக்கு சமம். f முழுதாக இருந்தால் (ஒருமை இல்லை), R=முடிவிலி. சூத்திரம்: R=1/limsup|a_n|^{1/n} (Cauchy-Hadamard).
Q2Easy
The Laurent series of f in an annulus r < |z-z_0| < R is: f(z) = sum_{n=-inf}^{inf} a_n(z-z_0)^n. The part with negative powers sum_{n=-inf}^{-1} is called:
r < |z-z_0| இல் உள்ள f இன் லாரன்ட் தொடர் < R என்பது: f(z) = sum_{n=-inf}^{inf} a_n(z-z_0) ^n. எதிர்மறை சக்திகள் sum_{n=-inf}^{-1} கொண்ட பகுதி அழைக்கப்படுகிறது:
- aThe analytic part — பகுப்பாய்வு பகுதி
- bThe principal part — முக்கிய பகுதி✓ Correct
- cThe Taylor part — டெய்லர் பகுதி
- dThe regular part — வழக்கமான பகுதி
Explanation
The principal part contains terms with negative powers of (z-z_0): a_{-1}/(z-z_0) + a_{-2}/(z-z_0)^2 + ... The regular (analytic) part sum_{n>=0} a_n(z-z_0)^n is analytic at z_0. The Laurent expansion is unique in each annulus.
முதன்மைப் பகுதியில் (z-z_0) எதிர்மறை சக்திகள் கொண்ட விதிமுறைகள் உள்ளன: a_{-1}/(z-z_0) + a_{-2}/(z-z_0)^2 + ... வழக்கமான (பகுப்பாய்வு) பகுதி sum_{n>=0} a_n(z-z_0) ^n என்பது z_0 இல் பகுப்பாய்வு ஆகும். லாரன்ட் விரிவாக்கம் ஒவ்வொரு வருடாந்திரத்திலும் தனித்துவமானது.
Q3Easy
The Taylor series of e^z at z=0 is:
e^z இன் டெய்லர் தொடர் z=0:
- asum_{n=0}^{inf} (-1)^n z^n / n!
- b1 + z + z^2 + z^3 + ...
- csum_{n=0}^{inf} z^n / n!✓ Correct
- d1 - z + z^2/2 - ... — 1 - z + z^2 /2 - ...
Explanation
e^z = sum_{n=0}^{inf} z^n/n! = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... This converges for all z in C (R=infinity). Follows from the Maclaurin formula: a_n = f^{(n)}(0)/n! = 1/n! for all n.
e^z = sum_{n=0}^{inf} z^n /n! = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... இது C இல் உள்ள அனைத்து z க்கும் ஒருங்கிணைக்கிறது (R=infinity). Maclaurin சூத்திரத்தில் இருந்து பின்வருமாறு: a_n = z^20 /n! = 1/n! அனைவருக்கும் n.
Q4Easy
The Laurent series of 1/(z-1) about z=0 for |z| > 1 is:
1/(z-1) இன் லாரன்ட் தொடர் z=0 க்கு |z| > 1 என்பது:
- a−∑_{n=0}^∞ zⁿ = −1 − z − z² − ...
- b∑_{n=1}^∞ (−1)ⁿ / zⁿ = −1/z + 1/z² − ...
- c∑_{n=0}^∞ 1/z^{n+1} = 1/z + 1/z² + 1/z³ + ...✓ Correct
- d1/(z−1) with no valid Laurent series for |z| > 1 — |z| > 1-க்கு செல்லுபடியாகும் லாரன்ட் தொடர் இல்லாத 1/(z−1)
Explanation
For |z|>1: 1/(z-1) = (1/z)/(1-1/z) = (1/z) sum_{n=0}^{inf}(1/z)^n = sum_{n=0}^{inf} z^{-(n+1)} = sum_{n=1}^{inf} z^{-n} = 1/z + 1/z^2 + ... = -(-1/z - 1/z^2 - ...). So option b: -(1/z + 1/z^2 + ...).
க்கு |z|>1: 1/(z-1) = (1/z)/(1-1/z) = (1/z) தொகை_{n=0}^{inf}(1/z)^n = தொகை_{n=0}^{inf} z^{-(n+1)} = தொகை_{n=1}^{inf} ... 1/1/PHOLDER + 1/ z^2 - ...). எனவே விருப்பம் b: -(1/z + 1/ z^2 + ...).
Q5Easy
f(z) = 1/(z^2(z-1)) for 0 < |z| < 1. The Laurent coefficient a_{-1} (residue at z=0) is:
f(z) = 1/( z^2(z-1)) க்கு 0 < |z| < 1. லாரன்ட் குணகம் a_{-1} (z=0 இல் எச்சம்):
- a−1 (from geometric series expansion of 1/(z−1) near 0) — −1 (0-க்கு அருகில் 1/(z−1)-ன் பெருக்குத் தொடர் விரிவாக்கத்திலிருந்து)✓ Correct
- b0 (vanishing coefficient of the simple pole term) — 0 (எளிய துருவ உறுப்பின் கெழு பூஜ்ஜியமாதல்)
- c2 (summing double pole residues) — 2 (இரட்டைத் துருவ எச்சங்களைக் கூட்டி)
- d1 (omitting the minus sign from 1/(z−1) = −1/(1−z)) — 1 (1/(z−1) = −1/(1−z) என்பதிலிருந்து கழித்தல் குறியை விட்டுவிட்டு)
Explanation
Partial fractions: 1/(z^2(z-1)) = A/z^2 + B/z + C/(z-1). Multiply by z^2 and set z=0: A = 1/(0-1) = -1. Differentiate to get B: d/dz[1/(z-1)]|_{z=0} = -1/(z-1)^2|_{z=0} = -1. So B = -1. C = lim z->1 (z-1)/(z^2(z-1)) = 1/1 = 1. Laurent series: -1/z^2 - 1/z + 1/(z-1). Coefficient a_{-1} = -1.
பகுதி பின்னங்கள்: 1/( z^2(z-1)) = A/ z^2 + B/z + C/(z-1). z^2 ஆல் பெருக்கி z=0: A = 1/(0-1) = -1 ஐ அமைக்கவும். B ஐப் பெற வேறுபடுத்தவும்: d/dz[1/(z-1)]=_| -1/(z-1)^2|_{z=0} = -1. எனவே பி = -1
20 more questions on Taylor and Laurent Series
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.