Interpolation — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Interpolation, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

Lagrange interpolating polynomial through n+1 points (x_0,y_0),...,(x_n,y_n): the polynomial L(x) of degree <= n with L(x_i)=y_i is:

n+1 புள்ளிகள் (x_0,y_0),...,(x_n,y_n): L(x_i) =y_i உடன் <= n இன் பல்லுறுப்புக்கோவை L(x):

  1. aL(x) = (y_n-y_0)/(x_n-x_0)*(x-x_0)+y_0
  2. bL(x) = y_0 + y_1*x + ... + y_n*x^n — L(x) = y_0 + y_1*x + ... + y_n* x^n
  3. cL(x) = sum y_i — L(x) = கூட்டுத்தொகை y_i
  4. dL(x) = sum_{i=0}^{n} y_i * l_i(x) where l_i(x) = product_{j!=i} (x-x_j)/(x_i-x_j) — L(x) = sum_{i=0}^{n} y_i * l_i(x) இங்கு l_i(x) = தயாரிப்பு_{j!=i} (x-x_j)/(x_i-x_j)✓ Correct

Explanation

Lagrange basis: l_i(x_j) = delta_{ij} (1 if i=j, 0 otherwise). The interpolating polynomial is the unique polynomial of degree <= n agreeing with y_i at x_i. Cost: O(n^2) to evaluate at a single point. Newton's form is more efficient for adding points.

லேகிரேஞ்ச் அடிப்படையில்: l_i(x_j) = டெல்டா_{ij} (1 என்றால் i=j, 0 இல்லையெனில்). இடைக்கணிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது x_i இல் y_i உடன் ஒத்துப் போகும் <= n பட்டத்தின் தனித்துவமான பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். விலை: ஒரே புள்ளியில் மதிப்பிட L(x_i)0. புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதற்கு நியூட்டனின் வடிவம் மிகவும் திறமையானது.

Q2Easy

Newton's divided difference interpolation: f[x_0,...,x_k] denotes the k-th divided difference. The interpolating polynomial is:

நியூட்டனின் வகுக்கப்பட்ட வேறுபாடு இடைச்செருகல்: f[x_0,...,x_k] என்பது k-th வகுக்கப்பட்ட வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது. இடைக்கணிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவை:

  1. aN(x) = sum f(x_i) — N(x) = தொகை f(x_i)
  2. bN(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + ...✓ Correct
  3. cN(x) = f[x_0,x_1,...,x_n]*x^n — N(x) = f[x_0,x_1,...,x_n]* x^n
  4. dN(x) = f(x_0)*(x-x_n) — N(x) = f(x_0) *(x-x_n)

Explanation

Newton divided differences: N(x) = f[x_0] + sum_{k=1}^{n} f[x_0,...,x_k] * prod_{j=0}^{k-1}(x-x_j). Efficient for adding a new point (add one more term). The divided differences can be computed in a triangular table. f[x_0,...,x_k] = (f[x_1,...,x_k]-f[x_0,...,x_{k-1}])/(x_k-x_0).

நியூட்டன் வேறுபாடுகளை வகுத்தார்: N(x) = f[x_0] + sum_{k=1}^{n} f[x_0,...,x_k] * prod_{j=0}^{k-1}(x-x_j). புதிய புள்ளியைச் சேர்ப்பதில் திறமையானது (மேலும் ஒரு சொல்லைச் சேர்க்கவும்). பிரிக்கப்பட்ட வேறுபாடுகளை ஒரு முக்கோண அட்டவணையில் கணக்கிடலாம். f[x_0,...,x_k] = (f[x_1,...,x_k]-f[x_0,...,x_{k-1}])/(x_k-x_0).

Q3Easy

Newton's forward difference formula for equally spaced points with step h: with s=(x-x_0)/h and delta^k f_0 = k-th forward difference:

நியூட்டனின் முன்னோக்கி வேறுபாடு சூத்திரம் h உடன் சம இடைவெளி புள்ளிகளுக்கு: s=(x-x_0)/h மற்றும் delta^k f_0 = k-th முன்னோக்கு வேறுபாடு:

  1. af(x) = f_0 + s*delta f_0 + s(s-1)/2!*delta^2 f_0 + s(s-1)(s-2)/3!*delta^3 f_0 + ... — f(x) = f_0 + s*டெல்டா f_0 + s(s-1) /2!* delta^2 f_0 + s(s-1) (s-2)/3!* delta^3 f_0 + ...✓ Correct
  2. bf(x) = f_0 + h*s*f_0
  3. cf(x) = f_0*s^n — f(x) = f_0* s^n
  4. df(x) = f_n + s*delta f_n

Explanation

Newton's forward formula: f(x_0+s*h) = f_0 + s*C(1)*delta f_0 + s*(s-1)*C(2)*delta^2 f_0 + ... where C(k)=s(s-1)...(s-k+1)/k! (Newton forward binomial coefficients). Used near the beginning of the table. For interpolation near the end: Newton's backward difference formula uses nabla (backward differences).

நியூட்டனின் முன்னோக்கி சூத்திரம்: f(x)0 = f_0 + s* f(x)1 *டெல்டா f_0 + s*(s-1)* f(x)2 * f(x)3 f_0 + ... இங்கு f(x)4 = f(x)5 ...(s-k+1)/k! (நியூட்டன் ஃபார்வர்டு பைனோமியல் குணகங்கள்). அட்டவணையின் தொடக்கத்திற்கு அருகில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. முடிவில் உள்ள இடைக்கணிப்புக்கு: நியூட்டனின் பின்தங்கிய வேறுபாடு சூத்திரம் நாப்லாவைப் பயன்படுத்துகிறது (பின்தங்கிய வேறுபாடுகள்).

Q4Easy

Runge's phenomenon: high-degree polynomial interpolation at equally spaced points on [-1,1] for the function f(x)=1/(1+25x^2) leads to:

ரன்ஜின் நிகழ்வு: f(x) =1/(1+25 x^2) க்கு வழிவகுக்கிறது:

  1. aL_i(x) = ∑_{j≠i} (x − x_j) / (x_i − x_j) as an additive sum of linear terms — நேரியல் உறுப்புகளின் கூட்டாக L_i(x) = ∑_{j≠i} (x − x_j) / (x_i − x_j)
  2. bL_i(x) = (x − x_i)ⁿ / n! as a localized Taylor monomial — ஒரு டெய்லர் ஒருபடியாக L_i(x) = (x − x_i)ⁿ / n!
  3. cL_i(x) = ∏_{j=0}^n (x − x_j) without omitting the i-th node — i-வது கணுவை நீக்காமல் L_i(x) = ∏_{j=0}^n (x − x_j)
  4. dL_i(x) = ∏_{j≠i} (x − x_j) / (x_i − x_j) (Lagrange cardinal basis polynomials) — L_i(x) = ∏_{j≠i} (x − x_j) / (x_i − x_j) (லக்ராஞ்ச் முதன்மை அடிப்படை பல்லுறுப்புக்கோவைகள்)✓ Correct

Explanation

Runge phenomenon: the maximum error at equally spaced nodes diverges for certain smooth functions. For f(x)=1/(1+25x^2): the error at the endpoints grows with n. Remedy: use Chebyshev nodes (clustered near endpoints) which minimize the Lebesgue constant and eliminate oscillations. The Lebesgue constant for n+1 Chebyshev nodes grows as O(log n).

ரேஞ்ச் நிகழ்வு: சமமான இடைவெளியில் உள்ள முனைகளில் அதிகபட்ச பிழையானது சில மென்மையான செயல்பாடுகளுக்கு வேறுபடுகிறது. f(x) =1/(1+25 x^2): n உடன் இறுதிப்புள்ளிகளில் உள்ள பிழை வளரும். தீர்வு: Lebesgue மாறிலியைக் குறைக்கும் மற்றும் அலைவுகளை அகற்றும் Chebyshev முனைகளைப் பயன்படுத்தவும் (முடிவுப்புள்ளிகளுக்கு அருகில்).

Q5Easy

The Chebyshev nodes on [-1,1] that minimize the maximum interpolation error are:

செபிஷேவ் முனைகள் [-1,1] அதிகபட்ச இடைக்கணிப்பு பிழையைக் குறைக்கின்றன:

  1. ax_k = k^2/n^2 — x_k = k^2 / n^2
  2. bx_k = k/n for k=0,...,n (equally spaced) — k=0,...,nக்கு x_k = k/n (சம இடைவெளி)
  3. cx_k = cos((2k+1)*pi/(2n+2)) for k=0,...,n (zeros of the Chebyshev polynomial T_{n+1}) — x_k = cos((2k+1) *pi/(2n+2)) k=0,...,n க்கான (செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பூஜ்ஜியங்கள் T_{n+1})✓ Correct
  4. dx_k = -1+2k/n

Explanation

Chebyshev nodes: x_k = cos((2k+1)*pi/(2(n+1))) for k=0,...,n. These minimize max|prod(x-x_k)| over all choices of n+1 nodes in [-1,1]. The error bound: max|f-P_n| <= 1/(2^n * (n+1)!) * max|f^{(n+1)}| (Chebyshev optimality). The interpolation at Chebyshev nodes converges for all Lipschitz functions (and faster for smoother f).

Chebyshev முனைகள்: x_k = cos((2k+1) *pi/(2(n+1))) k=0,...,n. இவை அதிகபட்சம்| prod(x-x_k) | [-1,1] இல் உள்ள n+1 முனைகளின் அனைத்து தேர்வுகளுக்கும் மேலாக. பிழை வரம்பு: அதிகபட்சம்|f-P_n| <= 1/(2^n * (n+1)!) * அதிகபட்சம்| f^{(n+1)} | (செபிஷேவ் உகந்தது). Chebyshev முனைகளில் உள்ள இடைக்கணிப்பு அனைத்து Lipschitz செயல்பாடுகளுக்கும் (மற்றும் மென்மையான f க்கு வேகமானது) ஒன்றிணைகிறது.

20 more questions on Interpolation

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing