Q1Easy
A topological space is a pair (X, T) where T is a collection of subsets of X called open sets. The axioms require:
இடவியல் இடம் என்பது ஒரு ஜோடி (X, T) ஆகும், இதில் T என்பது X இன் துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பாகும். கோட்பாடுகள் தேவை:
- aEmpty set and X are in T; T is closed under finite intersections and arbitrary unions — வெற்று தொகுப்பு மற்றும் X ஆகியவை T இல் உள்ளன; டி வரையறுக்கப்பட்ட குறுக்குவெட்டுகள் மற்றும் தன்னிச்சையான தொழிற்சங்கங்களின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது✓ Correct
- bT must be finite — டி வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்க வேண்டும்
- cT has exactly n elements for some n — டி சில nக்கு சரியாக n உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது
- dEvery subset of X is in T — X இன் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் T இல் உள்ளது
Explanation
Topology axioms: (1) empty set and X belong to T. (2) Arbitrary unions of open sets are open. (3) FINITE intersections of open sets are open. Note: infinite intersections of open sets need not be open (e.g., intersection of (−1/n, 1/n) = {0} which is not open in R).
இடவியல் கோட்பாடுகள்: (1) வெற்று தொகுப்பு மற்றும் X ஆகியவை T. (2) திறந்த தொகுப்புகளின் தன்னிச்சையான ஒன்றியங்கள் திறந்திருக்கும். (3) திறந்த செட்களின் FINITE குறுக்குவெட்டுகள் திறந்திருக்கும். குறிப்பு: ஓபன் செட்களின் எல்லையற்ற குறுக்குவெட்டுகள் திறந்திருக்க வேண்டியதில்லை (எ.கா., (−1/n, 1/n) = {0} இன் குறுக்குவெட்டு R இல் திறக்கப்படவில்லை).
Q2Easy
The discrete topology on X is:
X இல் உள்ள தனித்துவமான இடவியல்:
- aT = {subsets with finite complements} — T = {வரையறுக்கப்பட்ட நிரப்புகளுடன் துணைக்குழுக்கள்}
- bT = {empty set, X} — T = {வெற்று தொகுப்பு, X}
- cT = {X} — டி = {X}
- dT = P(X) (every subset is open) — T = P(X) (ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் திறந்திருக்கும்)✓ Correct
Explanation
Discrete topology: every subset is open (T = power set of X). In the discrete topology, every singleton {x} is open. This is the finest (largest) topology. The indiscrete (trivial) topology T = {empty set, X} is the coarsest.
தனித்துவமான இடவியல்: ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் திறந்திருக்கும் (T = X இன் சக்தி தொகுப்பு). தனித்த இடவியலில், ஒவ்வொரு சிங்கிள்டனும் {x} திறந்திருக்கும். இது மிகச்சிறந்த (பெரிய) இடவியல். தெளிவற்ற (அற்பமான) இடவியல் T = {வெற்று தொகுப்பு, X} என்பது மிகவும் கரடுமுரடானது.
Q3Easy
A basis B for a topology on X is a collection of subsets such that: (i) for each x in X there is B in B with x in B, and (ii):
X இல் இடவியலுக்கான அடிப்படை B என்பது துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பாகும்: (i) X இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும் B இல் B மற்றும் B இல் x உள்ளது, மற்றும் (ii):
- aThe collection of all singletons {x} for each individual point x ∈ X — ஒவ்வொரு தனிப் புள்ளி x ∈ X-க்குமான அனைத்து ஒற்றை உறுப்புக் கணங்களின் தொகுப்பு {x}
- bThe collection of all open balls B(x, ε) for all x ∈ X and ε > 0 — அனைத்து x ∈ X மற்றும் ε > 0-க்கான அனைத்து திறந்த பந்துகளின் தொகுப்பு B(x, ε)✓ Correct
- cThe set of all bounded subsets of metric space X — மெட்ரிக் வெளி X-ன் அனைத்து வரம்புடைய உட்கணங்களின் தொகுப்பு
- dThe collection of all closed balls B̄(x, ε) with their boundary spheres — அவற்றின் எல்லைக் கோளங்களுடன் அனைத்து மூடிய பந்துகளின் தொகுப்பு B̄(x, ε)
Explanation
Basis conditions: (1) B covers X. (2) For any two basis elements whose intersection contains x, there is a basis element containing x inside that intersection. The topology generated: U is open iff for each x in U, there exists B in basis with x in B subset U. Example: open intervals form a basis for R.
அடிப்படை நிபந்தனைகள்: (1) B உள்ளடக்கியது X. (2) எந்த இரண்டு அடிப்படை உறுப்புகளின் குறுக்குவெட்டில் x உள்ளது, அந்த குறுக்குவெட்டுக்குள் x உள்ள அடிப்படை உறுப்பு உள்ளது. உருவாக்கப்படும் இடவியல்: U இல் உள்ள ஒவ்வொரு xக்கும் U திறந்திருக்கும், B துணைக்குழு U இல் x உடன் B உள்ளது. எடுத்துக்காட்டு: திறந்த இடைவெளிகள் Rக்கு அடிப்படையாக அமைகின்றன.
Q4Easy
The closure of a set A in a topological space X is:
இடவியல் ஸ்பேஸ் X இல் A தொகுப்பின் மூடல்:
- aThe smallest closed set containing A (intersection of all closed sets containing A) — A கொண்டிருக்கும் மிகச்சிறிய மூடிய தொகுப்பு (A கொண்டிருக்கும் அனைத்து மூடிய தொகுப்புகளின் வெட்டும்)✓ Correct
- bA itself always — ஒரு தன்னை எப்போதும்
- cThe complement of A — A இன் நிரப்பு
- dThe largest open set inside A — ஏ உள்ளே இருக்கும் மிகப்பெரிய திறந்த செட்
Explanation
Closure: cl(A) = smallest closed set containing A = intersection of all closed sets containing A. A point x is in cl(A) iff every open neighborhood of x intersects A. Interior: int(A) = largest open set inside A = union of all open sets contained in A.
மூடல்: cl(A) = A கொண்டிருக்கும் மிகச்சிறிய மூடிய தொகுப்பு = A கொண்டிருக்கும் அனைத்து மூடிய செட்களின் குறுக்குவெட்டு. A புள்ளி x cl(A) இல் உள்ளது, x ன் ஒவ்வொரு திறந்த சுற்றுப்புறமும் A வெட்டும். உட்புறம்: int(A) = A இல் உள்ள அனைத்து திறந்த செட்களின் ஒன்றியம் = A இல் உள்ள மிகப்பெரிய திறந்த தொகுப்பு.
Q5Easy
If (X,T) is a topological space and A is a subset of X, the subspace topology on A is:
(X,T) என்பது இடவியல் இடமாகவும், A என்பது X இன் துணைக்குழுவாகவும் இருந்தால், A இல் உள்ள துணைவெளி இடவியல்:
- aT restricted to open sets inside A only — A க்குள் இருக்கும் திறந்த செட்களுக்கு மட்டுமே டி கட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளது
- bT_A = {U cap A : U in T} (intersections of open sets of X with A) — T_A = {U cap A : U இல் T} (A உடன் X இன் திறந்த தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டுகள்)✓ Correct
- cThe discrete topology on A — A இல் தனித்த இடவியல்
- dThe same as T — அதே போல டி
Explanation
Subspace (induced/relative) topology: T_A = {U intersect A : U in T}. A set V is open in A iff V = U intersect A for some open U in X. Example: [0,1] is closed in R, but [0,1/2) = [0,1] intersect (-inf,1/2) is open in the subspace [0,1].
துணைவெளி (தூண்டப்பட்ட/உறவினர்) இடவியல்: T_A = {U வெட்டும் A : U இல் T}. X இல் சில திறந்த U க்கு A iff V = U வெட்டும் A இல் ஒரு தொகுப்பு V திறக்கப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டு: [0,1] R இல் மூடப்பட்டுள்ளது, ஆனால் [0, 1/2 ) = [0,1] வெட்டும் (-inf, 1/2 ) துணைவெளியில் [0,1] திறந்திருக்கும்.
20 more questions on Topological Spaces
Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.