Developable Surfaces Geodesics and Conjugate Points — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Developable Surfaces Geodesics and Conjugate Points, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

A developable surface is one that:

உருவாக்கக்கூடிய மேற்பரப்பு ஒன்று:

  1. aHas constant positive mean curvature H > 0 and spherical metric topology — நிலையான நேர்மறை சராசரி வளைவு H > 0 மற்றும் கோள அளவீட்டு இடவியல் கொண்டுள்ளது
  2. bContains two orthogonal families of straight line generators at every point — ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் நேர்கோட்டு ஜெனரேட்டர்களின் இரண்டு செங்குத்து குடும்பங்களைக் கொண்டுள்ளது
  3. cCan be flattened onto a plane without stretching, equivalently has K = 0 everywhere — நீட்சி இல்லாமல் ஒரு தளத்தில் தட்டையாக்கப்படலாம், சமமாக எங்கும் K = 0 கொண்டுள்ளது✓ Correct
  4. dIs minimal with vanishing mean curvature H = 0 and negative Gaussian curvature — பூஜ்ஜியமாகும் சராசரி வளைவு H = 0 மற்றும் எதிர்மறை காசியன் வளைவுடன் குறைந்தபட்சமானது

Explanation

Cylinders, cones and tangent developables are the three basic types. Their flattening property makes them central to sheet metal work and paper folding.

சிலிண்டர்கள், கூம்புகள் மற்றும் தொடுகோடுகள் ஆகியவை மூன்று அடிப்படை வகைகளாகும். தாள் உலோக வேலைகள் மற்றும் காகித மடிப்பு ஆகியவற்றில் அவற்றின் தட்டையான பண்பு அவற்றை மையமாக்குகிறது.

Q2Easy

Every developable surface is locally one of:

ஒவ்வொரு உருவாக்கக்கூடிய மேற்பரப்பும் உள்நாட்டில் ஒன்று:

  1. aA catenoid, a helicoid, a Scherk minimal surface, or an Enneper surface — ஒரு கேட்டனாய்டு, ஒரு ஹெலிகாய்டு, ஒரு ஷெர்க் குறைந்தபட்ச மேற்பரப்பு, அல்லது ஒரு என்னெப்பர் மேற்பரப்பு
  2. bA plane, a cylinder, a cone, or the tangent developable of a space curve — ஒரு தளம், ஒரு உருளை, ஒரு கூம்பு, அல்லது ஒரு வெளி வளைவின் தொடுகோட்டு உருவாக்கக்கூடியது✓ Correct
  3. cA sphere, an ellipsoid, a paraboloid, or a hyperboloid of two sheets — ஒரு கோளம், ஒரு நீள்வளையம், ஒரு பரவளையம், அல்லது இரண்டு தாள்கள் கொண்ட அதிபரவளையம்
  4. dA torus, a pseudosphere, a Moebius strip, or a Klein bottle immersion — ஒரு டோரோஸ், ஒரு போலி-கோளம், ஒரு மோபியஸ் பட்டை, அல்லது ஒரு க்ளீன் பாட்டில் மூழ்கல்

Explanation

All are ruled surfaces along which the tangent plane stays constant. A general ruled surface is NOT developable -- the helicoid has K < 0.

அனைத்துமே ஆளப்படும் பரப்புகளாகும், அதனுடன் தொடுவான விமானம் மாறாமல் இருக்கும். ஒரு பொது ஆளப்பட்ட மேற்பரப்பை உருவாக்க முடியாது -- ஹெலிகாய்டில் K <0 உள்ளது.

Q3Easy

A ruled surface is developable if and only if:

  1. aMean curvature H vanishes identically along every generator ruling — சராசரி வளைவு H ஒவ்வொரு ஜெனரேட்டர் ஆட்சி நெடுகிலும் முற்றொருமையாக பூஜ்ஜியமாகிறது
  2. bThe striction curve coincides with an asymptotic line of positive curvature — ஸ்ட்ரிக்ஷன் வளைவு நேர்மறை வளைவின் அணுகுமுறை கோட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது
  3. cConsecutive generators are mutually orthogonal throughout the surface — அடுத்தடுத்த ஜெனரேட்டர்கள் மேற்பரப்பு முழுவதும் பரஸ்பரம் செங்குத்தானவை
  4. dTangent plane is constant along each generator ruling, equivalently K = 0 — தொடுகோட்டுத் தளம் ஒவ்வொரு ஜெனரேட்டர் ஆட்சி நெடுகிலும் மாறிலியாகும், சமமாக K = 0✓ Correct

Explanation

The hyperboloid of one sheet is ruled with K < 0, so it is not developable and cannot be flattened.

Q4Easy

The edge of regression of a developable surface is:

உருவாக்கக்கூடிய மேற்பரப்பின் பின்னடைவின் விளிம்பு:

  1. aCurve along which consecutive generators intersect, appearing as a cuspidal edge — அடுத்தடுத்த ஜெனரேட்டர்கள் வெட்டும் வளைவு, ஒரு கூர்முனை விளிம்பாகத் தோன்றுகிறது✓ Correct
  2. bClosed boundary curve where the Gaussian curvature attains its maximum — காசியன் வளைவு அதன் அதிகபட்சத்தை அடையும் மூடிய எல்லை வளைவு
  3. cTrajectory traced by the principal normal of the center of spherical curvature — கோள வளைவு மையத்தின் முதன்மை செங்குத்தால் கண்டறியப்பட்ட பாதை
  4. dAsymptotic line along which the first fundamental form determinant vanishes — முதல் அடிப்படை வடிவ அணிக்கோவை பூஜ்ஜியமாகும் அணுகுமுறைக் கோடு

Explanation

For a tangent developable it is the original space curve. For a cone it degenerates to the vertex, and for a cylinder it recedes to infinity.

உருவாக்கக்கூடிய ஒரு தொடுகோடு இது அசல் விண்வெளி வளைவாகும். ஒரு கூம்புக்கு அது உச்சிக்கு சிதைகிறது, ஒரு சிலிண்டருக்கு அது முடிவிலிக்கு பின்வாங்குகிறது.

Q5Easy

A geodesic on a surface is a curve whose:

ஒரு மேற்பரப்பில் ஒரு புவிசார் ஒரு வளைவு ஆகும்:

  1. aTorsion vanishes identically, so the geodesic is strictly a plane curve — முறுக்கம் முற்றொருமையாக பூஜ்ஜியமாகிறது, எனவே புவிசார் கோடு கண்டிப்பாக ஒரு தள வளைவாகும்
  2. bNormal curvature vanishes (kappa_n = 0), principal normal orthogonal to surface normal — செங்குத்து வளைவு பூஜ்ஜியமாகிறது (kappa_n = 0), முதன்மை செங்குத்து மேற்பரப்பு செங்குத்திற்கு செங்குத்தாகிறது
  3. cSpeed is strictly zero at all inflection points of the bounding parameter domain — எல்லை அளவுரு களத்தின் அனைத்து வளைவு மாற்றப் புள்ளிகளிலும் வேகம் கண்டிப்பாக பூஜ்ஜியமாகும்
  4. dGeodesic curvature vanishes (kappa_g = 0), principal normal parallel to surface normal — புவிசார் வளைவு பூஜ்ஜியமாகிறது (kappa_g = 0), முதன்மை செங்குத்து மேற்பரப்பு செங்குத்திற்கு இணையாகிறது✓ Correct

Explanation

Equivalently the acceleration has no tangential component, so geodesics are the straightest possible paths within the surface.

சமமாக முடுக்கம் எந்த தொடுநிலை கூறுகளையும் கொண்டிருக்கவில்லை.

20 more questions on Developable Surfaces Geodesics and Conjugate Points

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 3 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing