Linear ODEs with Constant Coefficients — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Linear ODEs with Constant Coefficients, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

For y'' + 3y' + 2y = 0, the characteristic equation is:

y'' + 3y' + 2y = 0 க்கு, சிறப்பியல்பு சமன்பாடு:

  1. ar^2 + 3r + 2 = 0 with roots r=1,2 — r^2 + 3r + 2 = 0 வேர்கள் r=1,2
  2. br^2 = 0
  3. cr + 3 = 0
  4. dr^2 + 3r + 2 = 0 with roots r=-1,-2 — r^2 + 3r + 2 = 0 வேர்கள் r=-1,-2✓ Correct

Explanation

Substitute y=e^{rx}: r^2 e^{rx}+3re^{rx}+2e^{rx}=0 => r^2+3r+2=0 => (r+1)(r+2)=0. Roots: r=-1,-2 (both negative). General solution: y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} (stable, decays to 0).

மாற்று y= e^{rx} : r^2 e^{rx}+3re^{rx}+2e^{rx} =0 => r^2+3r+2 =0 => (r+1)(r+2)=0. வேர்கள்: r=-1,-2 (இரண்டும் எதிர்மறை). பொதுவான தீர்வு: y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} (நிலையானது, 0 ஆக சிதைகிறது).

Q2Easy

If the characteristic equation has complex roots r=alpha±ibeta, the real general solution is:

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டில் சிக்கலான வேர்கள் r=alpha±ibeta இருந்தால், உண்மையான பொதுவான தீர்வு:

  1. aC_1 e^{alphax} + C_2 e^{betax}
  2. bC_1 e^{alphax+ibeta} + C_2 e^{alphax-ibeta}
  3. cC_1 cos(alphax) + C_2 sin(betax)
  4. dC_1 e^{alphax}cos(betax) + C_2 e^{alphax}sin(betax)✓ Correct

Explanation

Complex roots alpha±ibeta: e^{(alpha+ibeta)x} = e^{alphax}(cos betax + i sin betax). Real solutions: y = e^{alphax}(C_1 cos betax + C_2 sin betax). Example: r=±2i (beta=2, alpha=0): y = C_1 cos(2x)+C_2 sin(2x).

சிக்கலான வேர்கள் alpha±ibeta: e^{(alpha+ibeta)x} = e^{alphax}(cos betax + i sin betax). உண்மையான தீர்வுகள்: y = e^{alphax}sin(betax)0 cos betax + C_2 sin betax). எடுத்துக்காட்டு: r=±2i (பீட்டா=2, ஆல்பா=0): y = C_1 e^{alphax}sin(betax)1 +C_2 e^{alphax}sin(betax)2 .

Q3Easy

If the characteristic equation has a repeated root r=m (double root), the general solution is:

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு மீண்டும் மீண்டும் ரூட் r=m (இரட்டை ரூட்) இருந்தால், பொதுவான தீர்வு:

  1. aC_1 e^{mx} + C_2
  2. b(C_1 + C_2 x)e^{mx} — (C_1 + C_2 x) e^{mx}✓ Correct
  3. cC_1 e^{mx}
  4. dC_1 e^{mx} + C_2 e^{2mx}

Explanation

For a double root m: y_1=e^{mx}, y_2=xe^{mx} (reduction of order gives xe^{mx} as second independent solution). General solution: y=(C_1+C_2 x)e^{mx}. For a triple root: y=(C_1+C_2 x+C_3 x^2)e^{mx}.

இரட்டை மூலத்திற்கு m: y_1= e^{mx} , y_2= xe^{mx} (ஆர்டரைக் குறைப்பது xe^{mx} ஐ இரண்டாவது சுயாதீன தீர்வாக வழங்குகிறது). பொதுவான தீர்வு: y=(C_1+C_2 x) e^{mx} . மூன்று மூலத்திற்கு: y=(C_1+C_2 x+C_3 x^2)e^{mx} .

Q4Easy

For y'' - 3y' + 2y = e^x, where r=1 is a root of the characteristic equation r^2-3r+2=(r-1)(r-2), the particular solution form is:

y'' - 3y' + 2y = e^x க்கு, r=1 என்பது r^2-3r+2 =(r-1)(r-2) என்ற சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமாகும், குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவம்:

  1. ay = c₁ cos(mx) + c₂ sin(mx) with trigonometric terms — முக்கோணவியல் உறுப்புகளுடன் y = c₁ cos(mx) + c₂ sin(mx)
  2. by = c₁ e^{m x} + c₂ e^{−m x} with opposite sign exponent — எதிர் குறி அடுக்குடன் y = c₁ e^{m x} + c₂ e^{−m x}
  3. cy = (c₁ + c₂ x) e^{m x} (multiplying repeated root by polynomial in x) — y = (c₁ + c₂ x) e^{m x} (மீண்டும் வரும் மூலத்தை x பல்லுறுப்புக்கோவையால் பெருக்குதல்)✓ Correct
  4. dy = c₁ e^{m x} + c₂ e^{2m x} doubling the root value — மூல மதிப்பை இரட்டிப்பாக்கி y = c₁ e^{m x} + c₂ e^{2m x}

Explanation

Since r=1 is a simple root of the characteristic equation, the particular solution form must be multiplied by x: y_p=Axe^x. Substitute: y_p'=A(1+x)e^x, y_p''=A(2+x)e^x. A(2+x)e^x - 3A(1+x)e^x + 2Axe^x = Ae^x(2+x-3-3x+2x)=Ae^x(-1)=e^x. So A=-1.

r=1 என்பது சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் எளிய ரூட் என்பதால், குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவம் x: y_p= Axe^x ஆல் பெருக்கப்பட வேண்டும். மாற்று: y_p'= A(1+x) e^x , y_p''= A(2+x) r^2-3r+20 . r^2-3r+21 r^2-3r+22 - 3 r^2-3r+23 r^2-3r+24 + 2 r^2-3r+25 = r^2-3r+26 = r^2-3r+27 = r^2-3r+28. எனவே A=-1.

Q5Easy

The operator method: for y'' - y = e^{2x}, using D=d/dx: (D^2-1)y=e^{2x}, so y_p = e^{2x}/(D^2-1)|_{D->2} =

ஆபரேட்டர் முறை: y'' - y = e^{2x} , D=d/dx ஐப் பயன்படுத்துகிறது: ( D^2-1)y = e^{2x} , எனவே y_p = e^{2x} /( D^2-1) |_{D->2} =

  1. ae^{2x}
  2. be^{2x}/3✓ Correct
  3. ce^{2x}/5
  4. dxe^{2x}

Explanation

D^2-1 evaluated at D=2: 4-1=3. So y_p = e^{2x}/(2^2-1) = e^{2x}/3. Verify: y_p''=(4/3)e^{2x}, y_p''- y_p = (4/3-1/3)e^{2x}=e^{2x}. ✓

D^2-1 D=2: 4-1=3 இல் மதிப்பிடப்பட்டது. எனவே y_p = D^2-1)y0 /(2^2-1) = D^2-1)y1 /3. சரிபார்க்கவும்: y_p''=(D^2-1)y2) D^2-1)y3 , y_p''- y_p = (D^2-1)y4 - D^2-1)y5 ) D^2-1)y6 = D^2-1)y7 . ✓

20 more questions on Linear ODEs with Constant Coefficients

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing