Second Order Linear ODEs — PG TRB Mathematics Questions

5 free practice questions on Second Order Linear ODEs, out of 25 in this topic, for Post Graduate Teacher Recruitment Board (PG TRB) aspirants. Each one shows the correct answer and a full explanation.

Q1Easy

The general solution of the homogeneous ODE y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 is:

ஒரே மாதிரியான ODE y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 இன் பொதுவான தீர்வு:

  1. ay = C_1 y_1 + C_2 y_2 where y_1, y_2 are any two solutions — y = C_1 y_1 + C_2 y_2 இதில் y_1, y_2 ஏதேனும் இரண்டு தீர்வுகள்
  2. by = C_1 y_1 + C_2 y_2 where y_1, y_2 are linearly independent solutions — y = C_1 y_1 + C_2 y_2 இங்கு y_1, y_2 ஆகியவை நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகள்✓ Correct
  3. cy = y_1 * y_2
  4. dy = C_1 y_1 only — y = C_1 y_1 மட்டும்

Explanation

General solution = C_1 y_1 + C_2 y_2 where {y_1, y_2} is a fundamental set (linearly independent solutions). The solution space is 2-dimensional (by the uniqueness theorem). Independence is checked by the Wronskian W(y_1,y_2) != 0.

பொதுவான தீர்வு = C_1 y_1 + C_2 y_2 இதில் {y_1, y_2} என்பது ஒரு அடிப்படைத் தொகுப்பாகும் (நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகள்). தீர்வு இடம் 2 பரிமாணமானது (தனித்துவ தேற்றத்தால்). வ்ரோன்ஸ்கியன் W(y_1,y_2) != 0 ஆல் சுதந்திரம் சரிபார்க்கப்பட்டது.

Q2Easy

The Wronskian of y_1, y_2 is W(x) = y_1 y_2' - y_2 y_1'. Abel's identity states:

y_1, y_2 இன் Wronskian என்பது W(x) = y_1 y_2' - y_2 y_1'. ஆபேலின் அடையாளம் கூறுகிறது:

  1. aW(x) = W(x₀) exp(−∫_{x₀}^x P(t) dt) (Abel's Wronskian formula) — W(x) = W(x₀) exp(−∫_{x₀}^x P(t) dt) (ஆபெலின் ரான்ஸ்கியன் சூத்திரம்)✓ Correct
  2. bW(x) = W(x₀) + ∫_{x₀}^x P(t) dt as an additive integral — கூட்டுத் தொகையாக W(x) = W(x₀) + ∫_{x₀}^x P(t) dt
  3. cW(x) = 0 identically whenever P(x) is non-zero — P(x) பூஜ்ஜியமற்றதாக இருக்கும்போது முற்றொருமையாக W(x) = 0
  4. dW(x) = y₁(x) · y₂(x) identically for all fundamental solutions — அனைத்து அடிப்படை தீர்வுகளுக்கும் முற்றொருமையாக W(x) = y₁(x) · y₂(x)

Explanation

Abel's theorem: W(x) = Ce^{-integralp(x)dx}. The Wronskian is either always 0 (linearly dependent) or never 0 (linearly independent) on the interval. So checking W at one point determines independence on the whole interval.

ஏபலின் தேற்றம்: W(x) = Ce^{-integralp(x)dx} . வ்ரோன்ஸ்கியன் எப்போதும் 0 (நேரியல் சார்ந்து) அல்லது 0 (நேரியல் சார்பு) இடைவெளியில் இல்லை. எனவே ஒரு கட்டத்தில் W ஐச் சரிபார்ப்பது முழு இடைவெளியிலும் சுதந்திரத்தை தீர்மானிக்கிறது.

Q3Easy

If y_1 is a known solution of y'' + py' + qy = 0, a second independent solution is found by the substitution:

y_1 என்பது y'' + py' + qy = 0 இன் அறியப்பட்ட தீர்வாக இருந்தால், மாற்றீட்டின் மூலம் இரண்டாவது சுயாதீன தீர்வு கண்டறியப்படும்:

  1. ay_2 = y_1^2
  2. by_2 = v(x) y_1(x) (reduction of order) — y_2 = v(x) y_1(x) (ஆர்டரின் குறைப்பு)✓ Correct
  3. cy_2 = y_1 + C
  4. dy_2 = integraly_1 dx

Explanation

Reduction of order: y_2 = v(x)y_1. Substitute into the ODE: the y_1 terms cancel and we get a first order ODE for v' (setting w=v'). The resulting ODE is linear and separable.

ஆர்டரின் குறைப்பு: y_2 = v(x) y_1. ODE க்கு மாற்றாக: y_1 விதிமுறைகள் ரத்துசெய்யப்பட்டு, v' க்கான முதல் ஆர்டர் ODE ஐப் பெறுகிறோம் (w=v' அமைத்தல்). இதன் விளைவாக வரும் ODE நேரியல் மற்றும் பிரிக்கக்கூடியது.

Q4Easy

For y'' + ay' + by = e^{alphax}, if alpha is NOT a root of the characteristic equation, the particular solution has the form:

y'' + ay' + by = e^{alphax} க்கு, ஆல்பா என்பது குணாதிசய சமன்பாட்டின் ரூட் இல்லை என்றால், குறிப்பிட்ட தீர்வு வடிவம் கொண்டது:

  1. aA cos(alphax) — ஒரு cos(alphax)
  2. bAx^2 e^{alphax}
  3. cAe^{alphax}✓ Correct
  4. dAxe^{alphax}

Explanation

Undetermined coefficients: if e^{alphax} is not a solution of the homogeneous equation, try y_p = Ae^{alphax}. Substitute to find A. If alpha IS a root (simple), try y_p = Axe^{alphax}. If alpha is a double root, try y_p = Ax^2 e^{alphax}.

தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்கள்: ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் தீர்வு e^{alphax} இல்லையென்றால், y_p = Ae^{alphax} ஐ முயற்சிக்கவும். A ஐக் கண்டறிய மாற்று. ஆல்பா ஒரு ரூட் என்றால் (எளிமையானது), y_p = Axe^{alphax} ஐ முயற்சிக்கவும். ஆல்பா இரட்டை ரூட்டாக இருந்தால், y_p = Ax^2 Ae^{alphax}0 ஐ முயற்சிக்கவும்.

Q5Easy

The variation of parameters formula for y_p: given y_1, y_2 fundamental solutions of homogeneous ODE, the particular solution of y''+py'+qy=g is:

y_p க்கான அளவுருக்கள் சூத்திரத்தின் மாறுபாடு: ஒரே மாதிரியான ODE இன் y_1, y_2 அடிப்படை தீர்வுகள் கொடுக்கப்பட்டால், y''+py'+qy=g இன் குறிப்பிட்ட தீர்வு:

  1. ay_p = g/q
  2. by_p = -y_1integral(y_2 g/W)dx + y_2integral(y_1 g/W)dx — y_p = - y_1integral(y_2 g/W) dx + y_2integral(y_1 g/W) dx✓ Correct
  3. cy_p = y_1+y_2
  4. dy_p = integralg dx * y_1

Explanation

Variation of parameters: y_p = y_1integral(-y_2 g/W)dx + y_2integral(y_1 g/W)dx where W = y_1 y_2' - y_2 y_1'. This works for any continuous g, unlike undetermined coefficients which requires specific forms.

அளவுருக்களின் மாறுபாடு: y_p = y_1integral(-y_2 g/W) dx + y_2integral(y_1 g/W) dx, W = y_1 y_2' - y_2 y_1'. இது குறிப்பிட்ட படிவங்கள் தேவைப்படும் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைப் போலன்றி, எந்த தொடர்ச்சியான g க்கும் வேலை செய்கிறது.

20 more questions on Second Order Linear ODEs

Track your mastery, build a daily streak, and compete on the leaderboard across all 1 PG TRB subjects.

Practice this topicSee pricing